Přenosové charakteristiky - příklady

I.

Zadání:
a) Pomocí přechodové charakteristiky integračního RC článku určete jeho odezvu (výstupní napětí) u₂(t) na impulsní průběh vstupního napětí u₁(t) na obrázku níže.
b) Určete impulsní charakteristiku integračního RC článku.

Schéma	průběh vstupního napětí u1(t)

Řešení - ad a):

1. Popíšeme si vstupní napětí u₁(t) analyticky (vztahem):
   Jedná se o průběh složený z vodorovných úseků, který můžeme vyjádřit pomocí součtu a rozdílu skokových funkcí (jednotkových skoků násobených amplitudou).

2. Popíšeme si výstupní napětí u₂(t) analyticky (vztahem) s využitím přechodové charakteristiky a(t):
   Odezvu obvodu (výstupní napětí) u₂(t) můžeme určit pomocí principu superpozice, jako součet a rozdíl odezev na jednotlivé skokové funkce, pomocí nichž jsme popsali vstupní průběh napětí u₁(t).
   Jelikož přechodová charakteristika a(t) je definována jako odezva obvodu na vstupní jednotkový skok 1(t), můžeme pro u₂(t) psát

   Zbývá určit přechodovou charakteristiku a(t) integračního RC článku.

3. Nejdříve určíme operátorový přenos P(p) obvodu:
   

   Můžeme transformovat (pomocí Laplaceovy transformace) schéma do obrazové oblasti

   

   Přenos napětí P(p) je pak definován jako

   

   Výsledný tvar vypadá následovně

   

   kde τ = R . C je časová konstanta obvodu.

4. Určíme přechodovou charakteristiku a(t):
   Pro přechodovou charakteristiku v časové oblasti platí

   

   Výraz v závorkách {} se snažíme upravit tak, abychom dostali tvar formálně shodný s tvarem některé z identit ve slovníku Laplaceovy transformace nebo častěji se snažíme náš výraz rozložit na dílčí členy v součtu nebo rozdílu (resp. přesněji na lineární kombinaci těchto dílčích členů), neboli na parciální zlomky, jejichž tvary jsou formálně shodné s tvarem některé z identit ve slovníku LT (členy, které umíme pomocí slovníku LT převést do časové oblasti). Díky linearitě Laplaceovy transformace převedeme tyto jednotlivé členy do časové oblasti zvlášť a výsledek je pak dán opět jejich součtem nebo rozdílem (resp. přesněji jejich lineární kombinací). Složitost úprav závisí především na tom, jaký máme k dispozici slovník LT. Přehled několika často používaných identit a vlastností LT je uveden ve stručném slovníku LT.
   Obvyklou metodou rozkladu výrazu je rozklad lomené funkce na parciální zlomky pomocí metody neurčitých koeficientů nebo zakrývacího pravidla.

   Použijeme univerzálnější metodu neurčitých koeficientů:
   V našem případě chceme výraz upravit do podoby

   

   kde A a B jsou neznámé koeficienty (konstanty).

   Pravou stranu rovnice si upravíme do podoby formálně shodné s výrazem vlevo

   

   Výraz vlevo přepíšeme, aby byla jasně patrná tato podobnost

   

   Porovnáním obou výrazů

   

   resp. porovnáním koeficientů u sobě odpovídajících mocnin operátoru p dostaneme soustavu rovnic

   

   jejímž řešením jsou koeficienty A a B

   

   Dosazením těchto koeficientů a malou úpravou prvního zlomku, získáme konečnou podobu námi hledaného rozkladu výrazu

   

   Můžeme se tedy vrátit zpět k určování přechodové charakteristiky.
   S využitím linearity Laplaceovy transformace můžeme psát

   

   Ve slovníku LT najdeme výrazy ve formálně shodných tvarech a provedeme zpětnou LT výrazů

   

   Výsledný tvar vypadá následovně

   

5. Můžeme napsat výsledný vztah pro průběh odezvy (výstupní napětí) obvodu u₂(t):

   

Řešení - ad b):

• Impulsní charakteristiku w(t) budeme určovat z přenosu P(p), zjištěného v kroku 3. zadání a).

  

  Pro impulsní charakteristiku v časové oblasti platí

  

  Výraz v závorkách se snažíme upravit tak, abychom dostali tvar formálně shodný s tvarem některé z identit ve slovníku Laplaceovy transformace nebo častěji se snažíme náš výraz upravit - rozložit na dílčí členy v součtu nebo rozdílu (resp. přesněji na lineární kombinaci těchto dílčích členů), neboli parciální zlomky, jejichž tvary jsou formálně shodné s tvarem některé z identit ve slovníku LT (členy, které umíme pomocí slovníku LT převést do časové oblasti). Díky linearitě Laplaceovy transformace převedeme tyto jednotlivé členy do časové oblasti zvlášť a výsledek je pak dán opět jejich součtem nebo rozdílem (resp. přesněji jejich lineární kombinací). Složitost úprav závisí především na tom, jaký máme k dispozici slovník LT. Přehled několika často používaných identit a vlastností LT je uveden ve stručném slovníku LT.
  Obvyklou metodou rozkladu výrazu je rozklad lomené funkce na parciální zlomky pomocí metody neurčitých koeficientů nebo zakrývacího pravidla.

  V tomto případě je úprava výrazu do vhodné podoby (pro LT^-1) jednoduchá.
  Pouze vytkneme ze jmenovatele τ a dostaneme

  

  Můžeme se tedy vrátit zpět k určování impulsní charakteristiky.
  S využitím linearity Laplaceovy transformace můžeme psát

  

  Ve slovníku LT najdeme výraz ve formálně shodném tvaru a provedeme zpětnou LT výrazu

  

  Výsledný tvar vypadá následovně