Přenosové charakteristiky

Zde naleznete teoretický základ k problematice přenosových charakteristik - operátorovému přenosu, impulsní a přechodové charakteristice.

Přenosové charakteristiky popisují vlastní obvod, resp. jeho přenosové vlastnosti (vztah mezi vstupem a výstupem obvodu). Na základě znalosti těchto charakteristik jsme potom schopni určit, jaké budou odezvy obvodu na různé budící signály.
Hlavním nástrojem při určování těchto charakteristik je Laplaceova transformace.

Operátorový přenos obvodu

• značení: P(p)
• je obecně definován jako podíl Laplaceových obrazů výstupní veličiny a vstupní veličiny obvodu.

  Pro přenos napětí tedy platí:

  

  kde U₁(p) = LT { u₁(t) } je Laplaceův obraz vstupního napětí a U₂(p) = LT { u₂(t) } je Laplaceův obraz výstupního napětí.

• Přenos P(p) popisuje obvod v operátorové oblasti, v časové oblasti není definován.

• Z operátorového přenosu se vychází při výpočtu impulsní a přechodové charakteristiky.

Impulsní charakteristika

• značení: w(t)
• je definována jako odezva lineárního obvodu na vstupní Diracův impuls, při nulových energetických počátečních podmínkách.

  Což se dá symbolicky vyjádřit takto:

  

  Pokud takovéto vstupní a výstupní napětí transformujeme pomocí Laplaceovy transformace do obrazové oblasti

  

  a poté dosadíme do obecného vztahu pro přenos

  

  dostaneme vztah pro obraz impulsní charakteristiky:

  

  A tedy pro impulsní charakteristiku v časové oblasti platí:

  

• Určí se tedy přímo jako inverzní Laplaceův obraz z operátorového přenosu.
  Z toho vyplývá, že tato charakteristika popisuje obvod v časové oblasti (analogicky k tomu, jak přenos P(p) popisuje obvod v obrazové oblasti (resp. P(jω) v kmitočtové oblasti), bez ohledu na buzení). Impulsní charakteristika je tedy v podstatě obecným řešením přechodného děje.

  Určení impulsní charakteristiky z přenosu P(p) pomocí inverzní Laplaceovy transformace není obecně jednoduché. Výraz udávající přenos obvodu P(p) je často složitá lomená funkce, kterou je potřeba pro provedení inverzní Laplaceovy transformace upravit. Četnost a složitost úprav závisí především na tom, jaký máme k dispozici slovník LT. Náš výraz se snažíme rozložit na takové dílčí členy (resp. přesněji na lineární kombinaci těchto dílčích členů), jejichž tvary jsou formálně shodné s tvarem některé z identit ve slovníku LT (členy, které umíme pomocí slovníku převést do časové oblasti). Často používanou úpravou je rozklad lomené funkce na parciální zlomky pomocí metody neurčitých koeficientů nebo zakrývacího pravidla.

• Pokud známe impulsní charakteristiku obvodu - můžeme vyjádřit vztah mezi výstupním a vstupním napětím v časové oblasti pomocí tzv. konvolutorního integrálu:
  

  kde u₂(t) je výstupní napětí, u₁(t) je vstupní napětí a * (hvězdička) značí konvoluci.

• Impulsní charakteristika w(t) a přechodová charakteristika a(t) jsou spolu svázány vzájemným vztahem.

Přechodová charakteristika

• značení: a(t)
• je definována jako odezva lineárního obvodu na vstupní jednotkový skok, při nulových energetických počátečních podmínkách.

  Což se dá symbolicky vyjádřit takto:

  

  Pokud takovéto vstupní a výstupní napětí transformujeme pomocí Laplaceovy transformace do obrazové oblasti

  

  a poté dosadíme do obecného vztahu pro přenos

  

  dostaneme vztah pro obraz přechodové charakteristiky:

  

  A tedy pro přechodovou charakteristiku v časové oblasti platí:

  

• Určí se tedy z upraveného operátorového přenosu (P(p)/p) pomocí inverzní Laplaceovy transformace.

  Určení přechodové charakteristiky z přenosu P(p) pomocí inverzní Laplaceovy transformace není obecně jednoduché. Výraz udávající přenos obvodu P(p) je často složitá lomená funkce, kterou je potřeba pro provedení inverzní Laplaceovy transformace upravit. Četnost a složitost úprav závisí především na tom, jaký máme k dispozici slovník LT. Náš výraz se snažíme rozložit na takové dílčí členy (resp. přesněji na lineární kombinaci těchto dílčích členů), jejichž tvary jsou formálně shodné s tvarem některé z identit ve slovníku LT (členy, které umíme pomocí slovníku převést do časové oblasti). Často používanou úpravou je rozklad lomené funkce na parciální zlomky pomocí metody neurčitých koeficientů nebo zakrývacího pravidla.

• Pokud známe přechodovou charakteristiku obvodu - můžeme vyjádřit vztah mezi výstupním a vstupním napětím v časové oblasti pomocí tzv. "Duhamelových vztahů":
  

  kde u₂(t) je výstupní napětí, u₁(t) je vstupní napětí a ´ (čárka) značí derivaci.

• Přechodová charakteristika a(t) a impulsní charakteristika w(t) jsou spolu svázány vzájemným vztahem.

Vzájemný vztah mezi přechodovou a(t) a impulsní w(t) charakteristikou:

v časové oblasti
v obrazové oblast

• Vztah mezi přechodovou a impulsní charakteristikou je analogický ke vztahu signálů - jednotkového skoku a Diracova impulsu.
  Impulsní charakteristika je v podstatě derivací přechodové charakteristiky.