Diferenciální rovnice

Problematika diferenciálních rovnic zde není podrobněji zpracována, neboť tyto nejsou předmětem této práce. Zde je pouze uvedeno několik poznámek k jejich využití při řešení přechodných dějů. Tato kapitola obsahuje úvodní teorii k sestavování diferenciálních rovnic, popisujících lineární elektrické obvody. Problematiku řešení diferenciálních rovnic 1. a 2. řádu naleznete v kapitolách s teorií k obvodům 1. a 2. řádu. Ucelený přehled poznatků o diferenciálních rovnicích je možné najít v příslušné literatuře.

Integrodiferenciální a diferenciální rovnice - obecný úvod

Řešení diferenciálních rovnic 1. a 2. řádu je popsáno v rámci kapitol s teorií k obvodům 1. a 2. řádu:

Použití diferenciálních rovnic, pro popis obvodů v časové oblasti, vyplývá ze samotného popisu pasivních prvků v těchto obvodech. Mezi napětím a proudem na obvodových prvcích platí známé integrální a diferenciální vztahy, což vede při popisu obvodu na integrodiferenciální rovnice. Tyto se pak matematickými úpravami převedou na jednu diferenciální rovnici, která popisuje daný obvod.

Řešení přechodných dějů v časové oblasti, pomocí diferenciálních rovnic, je názornější pro pochopení průběhu dějů v obvodu, avšak hodí se spíše pro jednodušší obvody. Děje ve složitějších obvodech se potom dají snáze řešit za pomoci Laplaceovy transformace.

Postup sestavení diferenciální rovnice:

1. S využitím některé z metod pro řešení lineárních elektrických obvodů (např. metoda smyčkových proudů, metoda uzlových napětí), sestavíme (za předpokladu znalosti popisu obvodových prvků v časové oblasti) soustavu integrodiferenciálních rovnic, popisující daný obvod.
2. Pokud zderivujeme rovnice obsahující integrály, dostaneme soustavu diferenciálních rovnic nejvýše 2. řádu.
3. Z této soustavy pak eliminací proměnných (např. dosazovací metodou) získáme pro kteroukoli obvodovou veličinu jednu diferenciální rovnici řádu n.

Výsledná diferenciální rovnice má tvar:

Tato rovnice se nazývá nehomogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty řádu n a popisuje chování obvodu n-tého řádu při libovolných budících signálech.
Pozn.: Diferenciální rovnice používané v rámci tohoto textu, pro popis lineárních elektrických obvodů, jsou lineárními diferenciálními rovnicemi, obsahujícími derivace funkce jedné proměnné, s konstantními koeficienty. Proto pokud bude někde v textu uveden výraz diferenciální rovnice, je tím myšlena obyčejná lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty.

Význam jednotlivých symbolů:

• a_n až a₀ jsou konstantní koeficienty - závisí na zapojení obvodu a parametrech prvků a jsou pro kteroukoli obvodovou veličinu stejné.
• y(t) je hledaná obvodová veličina.
• x(t) vyjadřuje lineární kombinaci budících veličin (hodnoty nezávislých napěťových a proudových zdrojů) a jejich derivací (obecně až do n-té). Budící funkce pro různé obvodové veličiny není obecně stejná.

Řešení takovéto diferenciální rovnice není obecně jednoduché. K řešení diferenciální rovnice n-tého řádu potřebujeme znát právě n tzv. počátečních podmínek.

V rámci této pomůcky se budeme zabývat pouze diferenciálními rovnicemi 1. řádu a 2. řádu (popisujícími obvody 1. a 2. řádu) a jejich řešením.