Zadání:
Určete časový průběh napětí na kapacitoru uC(t) v obvodu na následujícím obrázku, jestliže v čase t = 0 sepne spínač (dojde k připojení stejnosměrného zdroje napětí U0).
a) Pro čas t < 0 byl obvod bez energie.
b) Jak se změní výsledek, byl-li kapacitor C před začátkem přechodného děje (v čase t = 0- ) nabit na napětí uC(0-) = 5V? (polarita dle obrázku)
| Schéma | Parametry obvodu |
|
U0 = 20V
|
Řešení - ad a):
Určíme počáteční podmínky:
Zajímá nás tedy hodnota uC(0+), tj. v obvodu těsně po změně (spínač sepnut).
Jelikož byl obvod pro čas t < 0 bez energie, bylo
a ze spojitosti napětí na kapacitoru plyne
|
|
Sestavíme diferenciální rovnici
Chceme určit průběh napětí na kapacitoru uC(t) a jelikož jeho průběh je vždy spojitý, budeme i diferenciální rovnici sestavovat pro tuto veličinu.
Metodou uzlových napětí sestavíme obvodovou rovnici
|
|
rovnici dále upravíme
do výsledného tvaru
Určíme obecné řešení uCo(t) přidružené homogenní rovnice:
tj. rovnice s nulovou pravou stranou
Napíšeme si charakteristickou rovnici
jejímž řešením je kořen charakteristické rovnice
a obecné řešení pak bude
kde K je neznámá konstanta, kterou určíme později.
Určíme partikulární řešení uCp(t) nehomogenní rovnice:
Partikulární řešení nebudeme určovat obvyklými matematickými metodami (metodou variace konstant nebo separace proměnných), ale vyjdeme z předpokladu, že se jedná o ustálenou složku řešení přechodného děje, tedy o řešení 2. ustáleného stavu.
Řešíme tedy ustálený stav v obvodu po změně:
Pro stejnosměrné napětí se kapacitor chová jako rozpojený obvod
a z toho je vidět partikulární řešení
Napíšeme si vztah pro celkové řešení uC(t):
Celkové řešení je dáno součtem obecného a partikulárního řešení.
Určíme neznámou konstantu K:
Konstantu určíme z předchozí rovnice (rovnice pro celkové řešení), dosazením času t = 0 (resp. přesněji t = 0+) a počátečních podmínek.
Na začátku přechodného děje platilo
odtud konstantu vyjádříme a dosazením počátečních podmínek dostaneme
Nyní můžeme napsat výsledný tvar celkového řešení:
Do vztahu pro celkové řešení (bod 6.) dosadíme za konstantu K, hodnotu určenou v předchozím bodě (7.)
výsledný tvar celkového řešení
po číselném dosazení
Výsledek můžeme znázornit graficky:
Kroky postupu 4, 6, 7 jsme mohli vynechat a využít vztahu pro celkovém řešení odvozeného v teoretické části a pouze do něho dosadit:
Obecně platí
a pro náš případ pak je
a dostali bychom pochopitelně stejný výsledek:
Kompletní postup je ale názornější.
Řešení - ad b):
Určíme počáteční podmínky:
Zajímá nás tedy hodnota uC(0+), tj. v obvodu těsně po změně (spínač sepnut).
Kapacitor byl před změnou, v 1. ustáleném stavu (v čase t = 0-) nabit na
a ze spojitosti napětí na kapacitoru plyne
Body postupu řešení 2. až 6. jsou totožné se zadáním a).
Využijeme proto dříve určené dílčí výsledky a budeme pokračovat bodem 7.
Určíme neznámou konstantu K:
Konstantu určíme z předchozí rovnice (rovnice pro celkové řešení), dosazením času t = 0 (resp. přesněji t = 0+) a počátečních podmínek
Na začátku přechodného děje platilo
odtud konstantu vyjádříme a dostaneme
Nyní můžeme napsat výsledný tvar celkového řešení:
Do vztahu pro celkové řešení (bod 6.) dosadíme za konstantu K, hodnotu určenou v předchozím bodě (7.)
výsledný tvar celkového řešení
po číselném dosazení
Výsledek můžeme znázornit graficky a porovnat s bodem a):
