Základní vztahy

Základní perioda signálu

>

Základní úhlová frekvence

>

Goniometrický tvar

>

>

>

>

Amplitudový tvar

>

>

>

>

Exponenciální tvar

>

>

>

>

Obdélníkový průběh posunutý o

Definice výrazu pro obdélníkový průběh, posunutý o  a jeho vykreslení.  

>	v_obd:=signum(cos(2*Pi*t));

>	prubeh_obd:=plot(v_obd,t=0..1.5,color=blue):prubeh_obd;

>	a_obd:=8/T*int(1*cos(k*2*Pi/T*t), t=0..T/4 );

>	b_obd:=4/T*int(1*sin(k*2*Pi/T*t), t=-T/4..T/4 );

Vypsání prvních deseti koeficientů. Je evidentní, že pro sudé násobky základní harmonické jsou koeficienty nulové.

>	a_obd_k:=seq(eval(a_obd),k=1..10);

Vykreslení velikostí (absolutních hodnot) prvních dvaceti harmonických - ze zvyšující se harmonickou klesá amplituda jen "pozvolna".

>	p1:=plot([[[0,0],[0,0]],seq([[k,0],[k,abs(a_obd)]],k=1..20)],color=black,thickness=3,xtickmarks=20):

>

p1;

Vyjádření Fouryerovy řady uvedeného průběhu pomocí funkce  ,  její vyčíslení pro prvních deset harmonických (pět nenulových) a vykreslení.

>	f_obd:=(t,n)->sum(a_obd*cos(2*Pi*k*t),k=1..n);

>	temp:=f_obd(t,10);

>	plot(temp,t=0..1.5,thickness=2);

Vykreslení výsledného průběhu pro různý počet harmonických i  pomocí animace.

>	plots[animate](plot,[f_obd(t,i),t=0..1.5,numpoints=500,thickness=2],i=[5,10,15,20,30,50,100],background=prubeh_obd);

>	f_obd:=(t,n)->sum(a_obd*cos(2*Pi*k*t),k=1..n);

>	temp:=f_obd(t,10);

>	plot(temp,t=0..1.5,thickness=2);

Jednocestně usměrněný sinusový průběh

>	prubeh_s1:=plot((signum(sin(2*Pi*t))/2+1/2)*sin(2*Pi*t),t=0..1.5,color=blue):

>	prubeh_s1;

>	b_s1:=2/T*int(1*sin(2*Pi/T*t)*sin(k*2*Pi/T*t), t=0..T/2);

>	a_s1:=2/T*int(1*sin(2*Pi/T*t)*cos(k*2*Pi/T*t), t=0..T/2);

Pro případ  je nutné počítat limitu, protože jinak vyjde dělení nulou.

>	limit(a_s1,k=1);

>	limit(b_s1,k=1);

>	seq(eval(a_s1),k=2..5);

>	seq(eval(b_s1),k=2..5);

>	plots[animate](plot,[a0_s1/2+1/2*sin(2*Pi*t)+sum(a_s1*cos(k*2*Pi*t),k=2..i),t=0..1.5,numpoints=100,thickness=2],i=[3,5,10,20,50],background=prubeh_s1);

Dvojcestně usměrněný sinusový průběh

>	prubeh_s2:=plot(abs(sin(2*Pi*t)),t=0..1.5,color=blue):

>	prubeh_s2;

>	a_s2:=4/T*int(1*sin(2*Pi/T*t)*cos(k*2*Pi/T*t), t=0..T/2);

>	a0_s2:=limit(a_s2,k=0);

Pro případ  je nutné počítat limitu, protože jinak vyjde dělení nulou.

>	limit(a_s2,k=1);

>	seq(eval(a_s2),k=2..5);

>	plots[animate](plot,[a0_s2/2+sum(a_s2*cos(k*2*Pi*t),k=2..i),t=0..1.5,numpoints=100,thickness=2],i=[3,5,10,20,50],background=prubeh_s2);

Spektrální čáry (koeficienty) se zmenšují směrem k vyšším harmonickým daleko výrazněji, než tomu bylo pro obdélníkový průběh, který obsahuje nekonečně strmé přechody (hrany), které jsou právě příčinou vzniku nezanedbatelně velkých vyšších harmonických. Pokud porovnáme vztahy pro oba koeficienty, zjistíme, že vztah pro koeficienty obdélníkového průběhu obsahuje činitek  (jednotlivé koeficienty se násobí výrazem ), naproti tomu výraz pro koeficienty tohoto průběhu obsahuje činitel , proto se tyto koeficienty zmenšují s rostoucí harmonickou ( ) mnohem výrazněji.   

>	p2:=plot([[[0,0],[0,a0_s2]],seq([[k,0],[k,abs(a_s2)]],k=2..20)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20):

>	plots[display](p1,p2);

Trojůhelníkový průběh

Takto jednoduše lze definovat trojůhelníkový průběh.

>	troj:=(4*(t-floor(t+1/4))-1)*signum(cos(2*Pi*t))+1;

>

>	prubeh_troj:=plot(troj,t=0..1.5,color=blue):

>	sin12:=plot([sin(2*Pi*t),0.5*sin(4*Pi*t)],t=0..1.5,color=[green,red]):

>	plots[display](prubeh_troj,sin12);

Takto definovaný vztah je špatně - takto ne!, viz. výše uvedený obrázek průběhů trojůhelníkového spolu s první a druhou harmonickou.

>	b_troj:=8/T*int(t*4/T*sin(k*2*Pi/T*t), t=0..T/4 );

Je evidentní, že výsledné spektrum obsahuje i sudé harmonické, které musí vyjít nulové.

>	bk:=seq(eval(b_troj),k=1..10);

>	bk:=seq(`if`(is(k,odd),eval(b_troj),0),k=1..10);

Je nutné počítat minimálně do poloviny periody - to však přináší komplikace - je nutné rozdělit integrál na dvě části (neumíme vyjádřit průběh jednou funkcí).

>	b_troj:=simplify(4/T*int(t*4/T*sin(k*2*Pi/T*t),t=0..T/4)+4/T*int((2-t*4/T)*sin(k*2*Pi/T*t),t=T/4..T/2));

Výpis velikostí prvních deseti harmonických nyní ukazuje, že výpočet byl proveden správně.

>	bk:=seq(eval(b_troj),k=1..10);

Maple samozřejmě dokáže pracovat i s výše definovaným průběhem troj , v našem případě integrovat. Pro vvyjádření koeficientu nyní využijme funkce (narozdíl od dříve používaných výrazů).

>	b_troj:=unapply(simplify(4/1*int(troj*sin(k*2*Pi/1*t), t=0..1/2 )),k);

Vyjádření Fouryerovy řady uvedeného průběhu opět pomocí funkce  .

>	f_troj:=(t,n)->sum(b_troj(k)*sin(2*Pi*k*t),k=1..n);

Tady je výsledná animace.

>	plots[animate](plot,[f_troj(t,i),t=0..1.5,numpoints=100,thickness=2],i=[3,5,10,20,50],background=prubeh_troj);

Opět se spektrální čáry (koeficienty) tohoto průběhu zmenšují směrem k vyšším harmonickým daleko výrazněji, než tomu bylo pro obdélníkový průběh. Pro rozlišení jsou tyto čáry nepatrně posunuty vůči původním čarám, odpovídajícím obdélníkovému průběhu.

>	p2:=plot([seq([[k+0.1,0],[k+0.1,abs(b_troj(k))]],k=1..20)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20):

>	plots[display](p1,p2);

Pilový průběh

Takto jednoduše lze definovat trojůhelníkový průběh.

>	pila:=t-floor(t);

Zde je vykreslen výše definovaný průběh spolu s první a druhou harmonickou.

>	prubeh_pila:=plot(pila,t=0..1.5,color=blue):

>	sin12:=plot([sin(2*Pi*t),0.5*sin(4*Pi*t)],t=0..1.5,color=[green,red]):

>	plots[display](prubeh_pila,sin12);

Výpočet koeficientů. Zde budou evidentně nenulové jak sudé, tak liché koeficienty sinnusové řady. Při výpočtu předpokládáme, že koeficient  je přirozené číslo (positive integer), což zjednodušší výsledek, ale zároveň nedostaneme správnou hodnotu pro koeficient , který je nutné počítat limitou (ostatní koecicienty jsou správně nulové).

>	b_pila:=unapply(2/1*int(pila*sin(k*2*Pi/1*t),t=0..1),k) assuming k::posint;

>	a_pila:=unapply(2/1*int(pila*cos(k*2*Pi/1*t),t=0..1),k) assuming k::posint;

Výpočet koeficientů  bez uvažovaného předpokladu a vyčíslení koeficientu . To je nutné provést limitou (pro pouhé dosazení dostaneme chybové hlášení - dělení nulou) nebo přímým výpočtem integrálu.

>	a_p:=unapply(2/1*int(pila*cos(k*2*Pi/1*t),t=0..1),k);

>

a_p(0);

>	limit(a_p(x),x=0)/2;

>	a0:=int(pila,t=0..1);

Error, (in a_p) numeric exception: division by zero

Následuje výpis prvních pěti koeficientů a vyjádření Fouryerovy řady uvedeného průběhu opět pomocí funkce  .

>	seq(b_pila(i),i=1..5);

>	f_pila:=(t,n)->a0+sum(b_pila(k)*sin(2*Pi*k*t),k=1..n);

Zde je výsledná animace.

>	plots[animate](plot,[f_pila(t,i),t=0..1.5,numpoints=200,thickness=2],i=[3,5,10,20,50,100],background=prubeh_pila);

V tomto případě se spektrální čáry (koeficienty) tohoto průběhu zmenšují směrem k vyšším harmonickým podobně jako tomu bylo v případě obdélníkového průběhu. Je to dáno nekonečně strmými hranami, jako v případě smíněného obdélníkového průběhu. Z tohoto důvodu figuruje ve jmenovateli vztahu pro koeficienty opět člen  oproti členu , vyskytujícímu se u ostatních, zde uvedených, průběhů. Proto byl pokles velikostí jejich koeficientů řady daleko výraznější směrek k vyšším harmonickým. Navíc jsou v tomto případě přítomny jak sudé, tak liché harmonické, což je důsledek toho, že jsou koeficienty tohoto průběhu celkově menší, oproti koeficientům obdélníkového průběhu. Pro rozlišení jsou čáry lichých harmonických nepatrně posunuty vůči původním čarám, odpovídajícím obdélníkovému průběhu.

>	p2:=plot([[[0,0],[0,a0]],seq([[k+`if`(is(k,odd),0.1,0),0],[k+`if`(is(k,odd),0.1,0),abs(b_pila(k))]],k=1..20)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20):

>	plots[display](p1,p2);

>

Něco navíc pro Maple

Kdo má program Maple nainstalovaný, může si vyzkoušrt tuto aplikaci pro výuku integrálů.

>	with(Student[Calculus1]):

>	IntTutor();

Initializing Java runtime environment.