Tento soubor výkladů také předpokládá znalost alespoň základních příkazů Maple V (viz. uvod.mws, maple_in.mws a syrup_in.mws).
restart:

Pro výpočty a kreslení někrerých grafů budeme potřebovat tyto knihovny.

> with(inttrans):

Budeme uvažovat lineární, časově invariantní systém (bez paměti), který je popsán přenosovou funkcí ve tvaru racionálně lomené funkce . Tato funkce má tzv. nulové body , jestliže platí . Funkce má dále póly , pokud . Předpokládejme také, že přenosová funkce obvodu je racionálně lomenou funkcí stupně a platí . Obraz odezvy na signál s Laplaceovým obrazem je dána výrazem . Odezvu o(t) dostaneme zpětnou LT a lze ji rozložit na přirozenou (vlastní) a vynucenou složku . Pro nalezení předmětu LT můžme s výhodou použít větu o reziduích ([LT], str.137 a [MA III] str.175), potom je

a ,

kde jsou singulární body (póly) přenosové funkce a jsou singulární body (póly) funkce . Z tohoto vyplývá, že je-li obvod absolutně stabilní , pak po připojení zdroje signálu k obvodu přirozená složka odezvy obvodu postopně zaniká , tudíž všechny póly přenosové funkce absolutně stabilního obvodu musí ležet v levé polorovině , jak bude patrné z dalšího výkladu ( Jak se počítá residuum) a což bude také zřejmé z aeo_pol.mws. Zanikající přirozená složka odezvy se přitom nazývá přechodovou složkou . Po zániku přechodové složky je odezva tvořena pouze vynucenou složkou a naopkak po odpojení budícího signálu je odezvva tvořena pouze přechodovou složkou. Při připojení zdroje signálu k obvodu v okamžiku , pak pro počáteční a konečnou hodnotu odezvy platí podle vět o limitě:

a , (o(0+), p=>0+).

Připomeňme ještě dva často používané typy budení. Je-li budícím signálem Dirakův impulz ( ), pak odezva obvodu na tento signál je funkce , která se nazývá impulzní charakteristika obvodové funkce . Je-li dále budící signál ve tvaru jednotkového skoku ( ), pak odezva obvodu na tento signál je a nazývá se přechodová charakteristika obvodové funkce . Její vztah k impulzní charakteristice je dán zmíněným integrálem. Z výše uvedeného lze ještě napsat počáteční a konečnou hodnotu přechodové charakteristiky: , resp. a (pch(0+), p=>0+, F(0+)) . , resp. , z čehož je patrné, že stupeň čitatele funkce musí být nenší než stupeň jmenovatele -- , což platí u každého reálného obvodu (viz aeo_nul.mws).

Nyní odvodíme odezvu obdodu s výše definovanou přenosovou funkcí na obecný harmonický signál.

> vstup:=A*sin(omega*t+Phi);

Obraz funkce .

> S:=laplace(vstup,t,p);

Jestliže budeme chtít znát předmět funkce , nemůžeme to provést takto.

> invlaplace(S*F(p),p,t);

V tomto obecném případě to samozřejmě přímo nepůjde, protože je zadaná obecně. Pro výpočet lze použít vzpomenutou větu o reziduích. Neznáme však singulární body funkce , známe pouze póly obrazu budícího signálu. Budeme tedy moci odvodit vynucenou složku výstupního signálu pomocí reziduí právě v těchto pólech. Jak víme, vlastní složka odezvy je daná póly funkce a pro stabilní systém postupně vymizí (přechodový děj).

> readlib(residue):
r1:=simplify(convert(simplify(residue(F(p)*S*exp(p*t), p=I*omega)),exp));
r2:=simplify(convert(simplify(residue(F(p)*S*exp(p*t), p=-I*omega)),exp));

H ledanou funkci dostaneme součtem jednotlivých reziduí . Jelikož ve většině případů bude přenosová funkce obvodu F(p) racionální funkcí, můžeme ještě uplatnit její vlastnosti ( ):

a platí: ; , tj.

Jestliže do úpravy výsledné funkce vememe v potaz i tyto vlastnosti dostaneme následující výraz.

> o[v](t):=simplify(subs(F(I*omega)=abs(F(I*omega))*exp(I*phi),r1)+subs(F(-I*omega)=abs(F(I*omega))*exp(-I*phi),r2));

Je patrné, že vynucená (ustálená) složka odezvy obvodu na sinusový signál je rovněž sinusová (vynucená složka, která je periodickou funkcí se nazývá ustálenou složkou odezvy). Poměr amplitud vstupního a výstupního signálu je dán absolutní hodnotou , zatímco rozdíl jejich fázových posuvů je dán vztahem . Funkce se pak nazývá kmitočtová charakteristika obvodové funkce . Složky kmitočtové charakteristiky a jsou pak amplitudovou a fázovou charakteristikou obvodové funkce . Podobně lze odvodit, že pro obecný periodický budící signál s periodou , je vynucená složka odezvy také periodickou funkcí se shodnou periodou.

V posledním vztahu jsme přešli (v případě ustálené složky) od Laplaceovy transformace k transformaci Fourierově -- náhradou za ve vztahu pro přenos obvodu . Mezi definičními vztahy těchto transformací a rovměž jejichž vlastnostmi a obrazy stejných funkcí platí velmi úzký vztah (viz definiční vztahy obou transformací). Dále je zřejmé, že vztah pro přenos obvodu dostaneme i pomocí symbolicko-komplexního vyjádření, což je velmi důležitá souvislost s FT. Rovnice obvodu v harmonickém ustáleném stavu, formulované pomocí symbolicko-komplexní metody, jsou totiž zároveň rovnicemi Fourierových obrazů napěťových a proudových odezev při přechodových jevech. FT napětí a proudů vyjadřuje vztah mezi odezvami v časové oblasti (souvislost FT s LT) a kmitočtovými odezvami -- charakteristikmi. Lze totiž ukázat, že pro Fourierovy obrazy napětí a proudů platí Kirchhoffovy zákony a že při nulových počátečních podmínkách platí pro Fourierův obraz napětí a proudu dvojpólu Ohmův zákon:

U(I ) = Z I(I ), atd.

Této významné fyzikální interpretace FT se plně využívá v teorii obvodů (např. vztah mezi kmitočtovou charakteristikou a časovou odezvou -- znám-li póly přenosové funkce lineárního stabilního systému, zanám jak jeho kmitočtové charakteristiky, tak časové odezvy). Naproti tomu řešení diferenciálních rovnic obvodu pomocí FT je v porovnání s LT náročnšjší a navíc lze LT řešit větší obor i poměrně složitých případů.

V závěru je nutné upozornit na některé "matematické souvislosti" předchozích úvah a závěrů. Mezi matematickým charakterem Laplaceova a Fourierova je totiž značný rozdíl. Laplaceův obraz je holomorfní funkcí\footnote{co to je} komplexní proměnné, jež nemá fyzikální význam. Naproti tomu Fourierův obraz je spojitou funkcí pouze pro reálné hodnoty proměnné , jež mají fyzikální význam jako úhlový kmitočet a pro imaginární hodnoty nemusí obraz existovat.

Nahradit za tudíž nelze ve všech případech. Je třeba, aby póly funkce (v našem případě ) byly v levé polorovině a to pro takové funkce, jejichž předmět -- funkce bude rovna nule pro .

Druhá podmínka ( pro ) vyplývá z definice LT, resp. z nutných podmínek pro předmět (funkci ), na kterou má být transformace uplatněna, tj. funkce musí být standardního typu.

Pozn: P ředmět standardního typu je každá komplexní funkce reálné proměnné má-li tyto tři vlastnosti: (1) je po částech spojitá na intervalu <0, ), (2) je exponenciálního řádu a (3) rovná se nule pro všechna . (Zkráceně: funkce se nazývá exponenciálního řádu s indexem růstu , existuje-li takové a číslo , že nerovnost , (nebo se rovná) platí pro všechna , pro která je funkce definována).

Uvědomme si, že exponenciála definičního integrálu LT by pro nekonečné záporné hohnoty rostla nadevšechny meze, tudíž je dolní mez integrálu rovna nule a tudíž i předmět musí být v tomto oboru ( ) roven nule, abychom vyločili stejný obraz pro různé předměty.

To, že póly obrazu musí pro přechod k Fourierově transformaci ( ) ležet v levé polorovině koplexní roviny lze odvodit čistě matematicky nebo to lze jednoduše zjistit z teorie obvodů. Symbolicko-komplexní metody lze použít jen pro řešení asymptoticky stabilních obvodů -- v ustáleném stavu existuje při harmonickém buzení jen jediný harmonický ustálený stav nezávislý na počátečních podmínkách. Přenosové funkce takových obvodů však mají póly v levé polorovině.

Skutečnost, že u nestabilních obvodů nelze pro řešení použít symbolicko-komplexní metody se můžeme přesvědčit na velmi jednoduchém obvodu, např. netlumeného sériového rezonančního LC obvodu napájeného harmonickým signálem (póly charakteristické funkce leží na imaginární ose). Je zřejmé, že v tomto případě obvod nedosáhne ustáleného stavu, který jako jediný by bylo možno řešit symbolicko-komplexní metodou. Je nutné rozlišit dva případy: (1) budicí kmitočet se nerovná kmitočtu rezonančnímu, pak je proud vyjádřen součtem dvou harmonických funkcí, z nichž jedna má kmitočet a druhá kmitočet buzení . Je tedy omezenou funkcí, narozdíl od případu (2), kdy . Obvod není regulární a jeho řešení není zdaleka jednoduché. Tyto skutečnosti samozřejmě není možné zjistit pomocí symbolicko-komplexní metody, jak bylo řečeno, ale je nutné použít LT nebo řešit přímo příslušnou diferenciální rovnici.

Toto je důvod, proč např. střídavá analýza v programu SPICE dává pro nestabilní obvody naprosto zavádějící výsledky! Jestli získané kmitočtové charakteristiky jsou opravdu skutečnými charakteristikami analyzovaného obvodu nebo jen vykreslením matematické funkce bez vatahu na reálný systém se musíme ujistit z polohy pólů přenosové funkce.

Na závěr uvedeme ještě matematický příklad nesprávného použití FT na funkci jednotkového skoku ( ). Lapaceův obraz této funkce je = a bylo by chybou domnívat se, že Fourierův obraz dostaneme prostým dosazením dosazením za v Laplaceově obrazu. Neplatí totiž výše uvedené podmínky -- pól funkce leží na imaginární ose. O neexistenci Fourierova obrazu se přesto můžeme ještě přesvědčit výpočtem definičního integrálu FT = . Jelikož limita pro neexistuje, nemůže existovat ani Fourierův obraz jednotkového skoku a tudíž ani funkce nemůže být fourierovským předmětem standardního typu -- integrál nemá konečnou hodnotu.

Zde je potvrzení výše uvedených skutečností.

> Int(Heaviside(t)*exp(-I*omega*t),t = -infinity .. infinity):%=value(%);

> Int(abs(Heaviside(t)),t = -infinity .. infinity):%=value(%);

Podobně není definován ani fourierův obraz pro signál -- ( ), což lze rozšířit na všechny periodické funkce. Fourierův obraz lze hledat jen u takových funkcí (analogových signálů), které mají konečnou energii, tj. musí být konečné čislo.

> Int(sin(w*t)*exp(-I*omega*t),t = -infinity .. infinity):%=value(%);

Uvědomme si jaké jsou definiční vztahy Fourierovy transformace (vztahem míníme komplexní funkci reálné proměnné , kterou většinou zapisujeme následujícím způsobem .

> G(omega)=convert(fourier(g(t),t,omega),int);
g(t)=convert(invfourier(G(omega),omega,t),int);

Pro účely teorie obvodů by však bylo velmi výhodné, kdyby obrazy výše uvedených funkcí existovaly. Proč? ..... Jak se to zařídí? .....

Jestliže je daná funkce, jejíž obraz hledáme periodická , je její spektrum diskrétní a Fourierova transformace přechází na Fourierovu řadu (viz. lit).

> fourier(sin(w*t),t,omega);

> invfourier(%,omega,t);
simplify(%);

Podobně lze i následující

> fourier(Heaviside(t),t,omega);

> invfourier(%,omega,t);

> simplify(%);

Jelikož musí platit následující ( ).

> fourier(Dirac(t),t,omega);
fourier(1,t,omega);
fourier(t,t,omega);

>