Matematická analýza

>    restart;

Matematická analýza

Výpočet limit

>    limit((x^2-5*x+6)/(x-3),x=3);

1

>    limit(sin(x)/x,x=0);

1

>    limit(sin(x)/x,x=infinity);

0

>    limit(sin(x),x=infinity);

-1 .. 1

Výpočet derivací

>    diff(x^8,x);

8*x^7

>    diff(x^8,x,x);

56*x^6

>    diff(x^8,x$5);

6720*x^3

>    diff(exp(-x^2),x,x);

-2*exp(-x^2)+4*x^2*exp(-x^2)

Derivace obecného součinu.

>    diff(f(x)*x^2,x);

diff(f(x),x)*x^2+2*f(x)*x

Derivace podílu, včetně složené funkce - malinko naročnější příklad.

>    derivace:=diff(exp(-t/tau)*sin(omega*t+phi),t);

derivace := -1/tau*exp(-t/tau)*sin(omega*t+phi)+exp(-t/tau)*cos(omega*t+phi)*omega

Výpočet integrálů

Neurčitý integrál výsledeku výše uvedené derivace - samozřejmě musí vyjít to samé.  

>    int(%%,x);

f(x)*x^2

>    int(x^6,x);

1/7*x^7

>    int(x*exp(x^2),x);

1/2*exp(x^2)

Zkusme integrovat výraz "derivace".

>    int(derivace,t);

-1/tau*(-omega/(1/(tau^2)+omega^2)*exp(-t/tau)*cos(omega*t+phi)-1/tau/(1/(tau^2)+omega^2)*exp(-t/tau)*sin(omega*t+phi))+omega*(-1/tau/(1/(tau^2)+omega^2)*exp(-t/tau)*cos(omega*t+phi)+omega/(1/(tau^2)+o...

a upravit :-)

>    simplify(%);

exp(-t/tau)*sin(omega*t+phi)

Určitý integrál

>    int(x^6,x=0..2);

128/7

>    int(x*exp(x^2),x=0..2);

1/2*exp(4)-1/2

Neurčitý integrál někdy neexistuje a Maple si přesto poradí - chybová funkce erf .

>    int(exp(-x^2),x);

1/2*Pi^(1/2)*erf(x)

Někdy to opravdu nejde

>    int(cos(x)/sqrt(x^2+1),x);

int(cos(x)/(x^2+1)^(1/2),x)

>    int(cos(x)/sqrt(x^2+1),x=0..1);

int(cos(x)/(x^2+1)^(1/2),x = 0 .. 1)

Potom se musí integrál spočítat numericky

>    evalf(int(cos(x)/sqrt(x^2+1),x=0..1));

.7544219648

>   

Knihovna Student

>   

Nespojité funkce

Knihovna pro integrální transformace .

>    with(inttrans);

[addtable, fourier, fouriercos, fouriersin, hankel, hilbert, invfourier, invhilbert, invlaplace, invmellin, laplace, mellin, savetable]

Přenosová funkce

>    H:=1/(s^2+sqrt(2)*s+1);

H := 1/(s^2+2^(1/2)*s+1)

Inverzní laplaceova tranformace

>    invlaplace(H,s,t);

2^(1/2)*exp(-1/2*2^(1/2)*t)*sin(1/2*2^(1/2)*t)

To samé ale s vyčíslením.

>    ih:=unapply(invlaplace(evalf(H),s,t),t);

ih := proc (t) options operator, arrow; 1.414213562*exp(-.7071067810*t)*sin(.7071067812*t) end proc

Impulsní charakteristika

>    plot(ih(t),t=0..20);

[Maple Plot]

Laplaceův obraz Dirakova pulzu a jednotkového skoku.

>    laplace(Dirac(t),t,s);

>    laplace(1,t,s);

1

1/s

Výpočet přechodové charakteristiky

>    ph:=unapply(invlaplace(evalf(H/s),s,t),t);

ph := proc (t) options operator, arrow; 1.-.5999999997e-17*exp(-.7071067810*t)*(.1666666668e18*cos(.7071067812*t)+.1666666666e18*sin(.7071067812*t)) end proc

a její vykreslení

>    plot(ph(t),t=0..20);

[Maple Plot]

Zpět na začátek sekce .