ft.html

ft.mws

Fourierova transformace a její souvislost Fourierovou řadou
© Jiří Hospodka
Následující ukázka demonstroje použití programu Maple pro podporu výuky Fourierovy transformace v předmětech Elektrické obvody 2 (EO2) a počítačové řešení elektrických obvodů (PRO).

Vyjděme z Fourierovy řady uvedeného periodického signálu a pokusme se odtud přejít k Fourierovu obrazu uvedeného obdélníkového pulzu. Většina operací je zatím bez komentáře (ty lze slyšet na cvičení :-).

Fourierova řada obdélníkového signálu podle obrázku, závistost spektrélních čar na parametech signálu

> f:=(t,t0::Range(0,0.5))->signum(cos(2*Pi*t)-cos(2*Pi*t0))/2+1/2;

> rect:=plot(f(t,1/16),t=-0.5..2.5,color=blue):

> rect;

> ck:=1/T*int(A*exp(-I*k*omega0*t),t=-tau/2..tau/2);

> ck:=simplify(ck);

> ckn:=subs(A=1,tau=T/8,omega0=2*Pi/T,ck);

> ck0:=limit(ckn,k=0);

> sinx:=plot(1/8*sin(Pi*k/8)/(Pi*k/8),k=-20..20,color=blue):

> sinx8:=plot([seq([[k,0],[k,ckn]],k=-20..-1),[[0,0],[0,ck0]],seq([[k,0],[k,ckn]],k=1..20)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20):

> plots[display](sinx,sinx8);

> limit(sin(x)/x,x=0);

Vztah ck lze upravit na tvar

Kontrola

> temp:=simplify(sum(ckn*exp(I*k*2*Pi*t),k=-10..-1)+ck0+sum(ckn*exp(I*k*2*Pi*t),k=1..10)):

> pt:=plot(temp,t=-0.3..2.3,thickness=3,numpoints=200):

> plots[display](pt,rect);

>

Změna periody T

Dosaďme nyní za , a měňme periodu T od 1 do 5 s.

> ckn:=subs(A=1,tau=1/8,omega0=2*Pi/T,ck):

> ck0:=limit(ckn,k=0):

> plots[animate](plot,[[seq([[k/T,0],[k/T,ckn]],k=-100..-1),[[0,0],[0,ck0]],seq([[k/T,0],[k/T,ckn]],k=1..100)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20,view=[-20..20, 0.13..-0.03]],T=[1,2,3,4,5]);

>

Změna periody T pro součin ck*T

> ck*T;

> ckn:=subs(A=1,tau=1/8,omega0=2*Pi/T,T*ck):

> ck0:=limit(ckn,k=0):

> plots[animate](plot,[[seq([[k/T,0],[k/T,ckn]],k=-100..-1),[[0,0],[0,ck0]],seq([[k/T,0],[k/T,ckn]],k=1..100)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20,view=[-20..20, 0.13..-0.03]],T=[1,2,3,4,5]);

>

Změna šířky pulzu pro součin ck*T

> cki:=subs(T=5,subs(A=1,tau=1/i,omega0=2*Pi/T,T*ck));

> ck0:=limit(cki,k=0):

> plots[animate](plot,[[seq([[k/5,0],[k/5,cki]],k=-100..-1),[[0,0],[0,ck0]],seq([[k/5,0],[k/5,cki]],k=1..100)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20],i=[6,8,10,20,50,100]);

>

Změna šířky pulzu pro součin ck*T při konstantní ploše pulzu *A

> cki:=subs(T=5,subs(A=1*i,tau=1/i,omega0=2*Pi/T,T*ck));

> ck0:=limit(cki,k=0):

> plots[animate](plot,[[seq([[k/5,0],[k/5,cki]],k=-100..-1),[[0,0],[0,ck0]],seq([[k/5,0],[k/5,cki]],k=1..100)],color=red,thickness=3,xtickmarks=20],i=[6,8,10,20,50,100]);

>

Porovnejme výrazy pro koeficienty komplexní Fourierovy řady a Fourierovu transformaci

> c[k] = ('1/T')*Int(f(t)*exp(-j*k*omega[0]*t),t = -T/2 .. T/2)

> F(j*omega) = Int(f(t)*exp(-j*omega*t),t = -infinity .. infinity)

Zjistíme, že, ....

Exponenciální tvar

> f(t) = Sum(c[k]*exp(j*k*omega[0]*t),k = -infinity .. infinity)

Zpětná Fourierova transformace

> f(t) = ('1/(2*Pi)')*Int(F(j*omega)*exp(j*omega*t),omega = -infinity .. infinity)

Z předchozího je také evidentní, že Fourierův obraz Diracova pulzu je roven jeho ploše.

> int(Dirac(t)*exp(-j*omega*t),t =-infinity..infinity);

Plocha Diracova pulzu.

> int(Dirac(t),t=-infinity..infinity);

>

Fourierova transformace pulzu

> rect:=A*(Heaviside(t+tau/2)-Heaviside(t-tau/2));

>

Jednotková funkce

> plot(Heaviside(t),t=-1..1,thickness=2);

> plot(subs(A=1,tau=1/4,rect),t=-1..1,thickness=2);

> int(A*exp(-I*omega*t),t=-tau/2..tau/2);

> F_rec:=simplify(%);

> with(inttrans);

> fourier(rect,t,omega);

Jak bylo uvedeno, Fourierův obraz Diracova pulzu je roven jeho ploše. Nyní použijme pro výpočet přímý příkaz.

> fourier(Dirac(t),t,omega);

>

Nepoužívat funkci piecewise

> rc:=piecewise(t>-tau/2 and t<tau/2,A);

> plot(subs(A=1,tau=1/4,rc),t=-1..1,thickness=2);

> fourier(rc,t,omega);

>

Fourierova transformace periodických funkcí a vztah mezi Fourierovou tranzformací a řadou

Výsledkem Fourierova obrazu je tedy spojitá funkce, narozdíl od Fourierovy řady. Další odlišností je fyzikální rozměr této funkce (obrazu) oproti fyzikálnímu rozměru koeficientů řady (viz komentář dále). Pro náš případ obdélníhového puzlu dostaneme tedy velmi podobný výraz jeho obrazu v porovnání se vztahem pro fourierovy koeficienty periodicky se opakujícího průběhu. Stejný vztah dostaneme, pokud ve Fourierově obrazu přejdeme od spojitého kmitočtového spektra k diskrétnímu ( -> ) a ten pak dělíme základní periodou signálu.

> F_rec;

> subs(omega=k*omega0,F_rec)/T;

> ck;

Obecně tedy platí následující pravidlo: Pokud známe Fourierův obraz časově omezené funkce s dobou trvání , můžeme jednoduše určit koeficienty Fourierovy řady periodické funkce, která vznikla z původní funkce jejím periodickým opakováním s periodou . Tyto koeficienty určíme tak, že do Fourierova obrazu dosadíme (přejdeme od spojitého kmitočtového spektra k diskrétnímu, kde ) a výsledek pak dělíme periodou . To také vyplývá z výše uvedených vztahů - ze vztahu pro koeficienty Fourierovy řady a pro Fourierův obraz .

Použijme toto pravidlo na náš případ. Mějme symetrický pulz o šířce . ...

> plot(subs(A=1,tau=1/2,rect),t=-1..1,thickness=2);

> F_obd:=fourier(rect,t,omega);

> plot(signum(cos(2*Pi*t)),t=0..1.5,thickness=2);

> a_obd:=8/T*int(1*cos(k*2*Pi/T*t), t=0..T/4 );

> ck:=subs(A=2,omega=k*2*Pi/(tau*2),F_rec)/(2*tau);

> c0:=limit(ck,k=0);

> evalc(c0+sum(ck*exp(I*2*Pi*k*t),k=-10..-1)+sum(ck*exp(I*2*Pi*k*t),k=1..10));

> sum(a_obd*cos(2*Pi*k*t),k=1..10);

>

> fourier(A*exp(I*omega0*t),t,omega) assuming omega0>0;

> fourier(A*cos(omega0*t),t,omega) assuming omega0>0;

> fourier(A*sin(omega0*t),t,omega) assuming omega0>0;

Tyto vztahy lze poměrně snadno odvodit při znalosti spektra konstantního signálu ( , což lzde dokázat zpětnou fransformací ) a použitím věty o kmitočtovém posunu

Lze tak získat obraz komplexní exponencialy.

což lze potvrdit zpětnou transformací

Odtud již lze napsat i ostatní vztahy (pro funkce sin a cos), pokud uvážíme, že . Podobně odvodit i vztah pro obecný periodický signál

kde

Jaký je tedy vztah mezi spektrem periodického signálu vypočteným pomocí Fourierovy transformace a koeficienty jeho Fourierova rozvoje. Například pro spektrum funkce platí výše uvedený vztah. Vzhledem k~tomu, že , jsou koeficienty komplexní Fourierovy řady = . Jejich grafické znázornění je uvedeno na následijícím obrázku (a). Oproti tomu spektrum stejného signálu , získané Fourierovou transformací tvoří dva Diracovy pulzy s plochou na kmitočtech a , jak ukazuje obrázek (b).

Plocha Diracových pulzů je přitom úměrná velikosti koeficientu Fourierova rozvoje. Je-li fyzikální rozměr amplitudy např. [V], pak plocha tohoto pulzu má fyzikální rozměr [V * s * rad / s]=[V * rad]. Pokud tedy chceme znát velikost příslušného koeficientu stačí vydělit plochu odpovídajícího Diracova pulzu členem . To také evidentní ze vztahu pro zpětnou Fourierovu transformaci. Pokud ho budeme aplikovat na dané spektrum (např. kosinusového signálu), vynásobené amplitudou , dostaneme člen násobený integrálem, udávajícím plochy obou pulzů násobené komplexními exponenciálami, tj.

Po úpravě samozřejmě dostaneme původní signál se správnou velikostí amplitudy.

>

Fourierova transformace trojůhelníkového pulzu

> troj:=piecewise(t>-t0 and t<=0,(t+t0)/t0*U,t>0 and t<t0,(t0-t)/t0*U,0);

> plot(subs(t0=1,U=2,troj),t=-2..2,thickness=2);

> F:=int(troj*exp(-I*omega*t),t=-infinity..infinity) assuming t0>0;

> Fu:=simplify(F);

> fourier(subs(t0=1,U=2,troj),t,omega);combine(%);

> simplify(subs(t0=1,U=2,Fu));

> plot(subs(t0=1,U=2,Fu),omega=-4*Pi..4*Pi,thickness=2);

> ft:=invfourier(Fu,omega,t) assuming t0>0;

> convert(ft,piecewise,t) assuming t0>0;

> laplace(subs(t0=1,U=2,troj),t,p);

>

Laplaceova transformace

> F(p) = Int(f(t)*exp(-p*t),t = 0 .. infinity)

Zpětná Laplaceova transformace

> f(t) = ('1/(2*Pi*j)')*Int(F(p)*exp(p*t),p = sigma-j*infinity .. sigma+j*infinity)

>

Úloha 2.1.1

> ex:=U*exp(-a*t);

> plot(subs(U=1,a=3,ex)*Heaviside(t),t=-1..2,thickness=2);

> int(ex*exp(-I*omega*t),t=-infinity..infinity) assuming a>0;

> int(ex*exp(-I*omega*t),t=0..infinity) assuming a>0;

> int(ex*Heaviside(t)*exp(-I*omega*t),t=-infinity..infinity) assuming a>0;

Pozor, jednotkový skok je nutný.

> fourier(ex,t,omega) assuming a>0;

> fourier(ex*Heaviside(t),t,omega) assuming a>0;

> ex2:=U*exp(-a*(t-t0));

> plot(subs(U=1,a=3,t0=0.2,ex2*Heaviside(t-t0)),t=-1..2,thickness=2);

> fourier(ex2*Heaviside(t-t0),t,omega) assuming a>0, t0>0;

>

Úloha 2.1.3

Máme určit frekvenční přenos obvodu (do kmitočtu , kde už je přenos obvod u téměř nulový. Obvod máme vybudit pulzem a kmitočtový přenos pak určit z jeho odezvy. Jak úzký pulz je třeba pro vybuzení obvodu?

Spektrum pulzu.

> F_rec;

Lépe je to vidět z tohoto vztahu . Dosaďme , tj. a označme součin . Pak vyneseme, jak se zmenšuje spektrum v závislosti na tomto součinu (relativně vůči ploše ).