pol_nul21.html

Komplexně sdružená dvojice pólů a nula v nule (nulovém kmitočtu) - pásmová propust (PP)

Přenosová funkce je ve tvaru

> Pq2:=subs({n1=0},Pq);

(7.3.1)

Např. pro a dostaneme následující kmotičtové charakteristiky

> Pf:=subs({K=1000/4,omega[0]=1000,Q=4,p=I*omega},Pq2):
semilogplot(20*log10(abs(Pf)),omega=100..10000,y=-32..0,title=`Modulová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [dB]`,labels=[omega,`log|Pf|`],axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2,gridlines=true);
semilogplot(180/Pi*argument(Pf),omega=100..10000,y=-90..90,title=`Fázová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [deg]`,labels=[omega,`Arg(Pf)`], axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2,gridlines=true);

Plot_2d

Plot_2d

Volba byla určena tak, aby zisk v propustném pásmu byl právě 1, tj. 0dB, jelikož

> 'Pq2(omega[0])=H[B]'=simplify(subs(p=I*omega[0],Pq2));

(7.3.2)

Fáze přenosu je pro tento zlomový kmitočet () evidentmě nulová a maximum modulové charakteristiky nastává také pří tomto kmitočtu.

> solve(diff(evalc(abs(subs(p=I*omega,Pq2))),omega),omega);
evalf(subs({K=1000/4,omega[0]=1000,Q=4},[%]));

(7.3.3)

Nyní najděme kmitočet poklesu modulu přenosu o 3dB oproti maximu:

> om12:=solve(evalc(abs(subs(K=omega[0]/Q,p=I*omega,Pq2)))=1/sqrt(2),omega);
evalf(subs({K=1000/4,omega[0]=1000,Q=4},[%]));

(7.3.4)

Je zřejmé, že 2. a 4. výsledek je záporný. Uvažujme tedy pouze dva výsledky a , které jsou ilustrovány na tomto obrázku a níže je důkaz uvedených skutečností.

> 'omega[2]-omega[1]'=simplify(om12[1]-om12[3]);

> 'omega[1]*omega[2]'=simplify(om12[3]*om12[1]);

(7.3.5)

Hodnota fáze přenosu pro zlomový kmitočet .

> simplify(evalc(argument(subs(p=I*omega[0],Pq2)))) assuming Q>1, K>0, omega[0]>0;

(7.3.6)

Časová odezva je následkující

> Ptn:=invlaplace(subs({K=1000/4,omega[0]=1000,Q=4},Pq2), p, t);
plot(Ptn,t=0..0.03,title=`Impulzní charakteristika (nula vlevo)`,labels=[t,`Ptn `],labelfont=[HELVETICA],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2);

Plot_2d

Jak bylo odvozeno výše, charakter odezvy je plně určen charakterem pólů přenosu, tj. kmitočet odezvy je dán imaginární částí pólu, zatímco tlumení je dáno jeho reálnou částí.

> 'p12'=solve(subs({omega[0]=1000,Q=4},denom(Pq2)));

(7.3.7)