pol_nul19.html

Komplexně sdružená dvojice pólů a komlexně sdružená dvojice nul na imaginární ose s : eliptická dolní propust (DP)

Přenosová funkce je ve tvaru:

> Pqe:=subs({n1=I*omega[n],n2=-I*omega[n]},Pq);
simplify(%);

(8.1.1)

Limitní hodnoty modulu přenosu pro DC a velmi vysoký kmitočet jsou následující:

> 'Pqe(infinity)'=

(8.1.2)

> 'Pqe(0)'=

Pqe(0) = `/`(`*`(`^`(omega[n], 2), `*`(K)), `*`(`^`(omega[0], 2))) (8.1.3)

Ani jedna z hodnot není nulová (systém má nennulový přenos). Pokud platí jedná o DP, přičemž rozdíl mezi přenosem v propustném a nepropustném pásmu je dán právě podílem . Násobná konstanta se obvykle udává ve tvaru . Potom udává přímo zisk v propustném pásmu.

(8.1.4)

Hodnota převýšení modulové charakteristiky pro zlomový kmitočet je o něco menší než Q a fáze přenosu pro zlomový kmitočet je -π/2.

(8.1.5)

> `Pqe(omega[0])`=simplify(evalc(abs(subs({p=I*omega[0],K = omega[0]^2*H[0]/omega[n]^2},Pqe)))) assuming Q>0, H[0]>0, omega[0]>0, omega[n]>omega[0];
subs({H[0]=1,omega[0]=1000,omega[n]=5000.,Q=4,p=I*omega},%);

> 'phi__Pqe(omega[0])'=simplify(evalc(argument(subs(p=I*omega[0],Pqe)))) assuming Q>1, K>0, omega[0]>0, omega[n]>omega[0];

(8.1.6)

Minimum modulové charakteristiky nastává při kmitočtu kde se fáze přenosu mění skokově o Přenos změní skokově znaménko, jelikož přejdečitatel přejde na , který pro vyjde kladně a

> subs(p=I*omega[n],Pqe);

(8.1.7)

Např. pro a (tj. ), dostaneme následující kmtičtové charakteristiky

> Pf:=subs({K=1000^2/5000^2,omega[0]=1000,omega[n]=5000,Q=4,p=I*omega},Pqe):
semilogplot(20*log10(abs(Pf)),omega=100..100000,title=`Modulová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu`,labels=[omega,typeset(20*log10(abs('Pqe'))," [dB]")],axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2,gridlines=true);
semilogplot(180/Pi*argument(Pf),omega=100..100000,title=`Fázová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu`,labels=[omega,typeset(varphi['Pqe']," [°]")], axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2,gridlines=true);

Plot_2d

Plot_2d

Mmaximum modulové charakteristiky nastává pří kmitočtu a maximum je rovno . Vyjádření obou veličin v symbolickém tvaru je již poměrně komplikované.

> solve(diff(evalc(abs(subs(p=I*omega,Pqe))),omega),omega) assuming Q>1, K>0, omega[0]>0, omega[n]>0;
evalf(subs({K=1000^2/5000^2,omega[0]=1000,omega[n]=5000,Q=4},[%]));
simplify(subs({p=I*(%%[3])},abs(Pqe))) assuming Q>1, K>0, omega[0]>0, omega[n]>omega[0];
evalf(subs({K=1000^2/5000^2,omega[0]=1000,omega[n]=5000,Q=4},[%]));

0, `/`(`*`(`^`(`*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(Q, 2), `*`(`^`(omega[0], 2)))), `-`(`*`(2, `*`(`^`(Q, 2), `*`(`^`(omega[n], 2))))), `-`(`*`(`^`(omega[0], 2)))), `*`(`+`(`*`(2, `*`(`^`(Q, 2), `*`(`^`(omega[0], 2...

(8.1.8)

Časová odezva odpovídá výše uvedené neeliptické DP, jelikož nuly neovlivňují její charaktrer.

> Ptn:=invlaplace(subs({K=1000^2/5000^2,omega[0]=1000,omega[n]=5000,Q=4},Pqe), p, t);
plot(Ptn,t=0..0.03,title=`Impulzní charakteristika`,labels=[t,`Ptn `],labelfont=[HELVETICA],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2);

Plot_2d

Kmitočet odezvy je dán imaginární částí pólu, zatímco tlumení je dáno jeho reálnou částí.

> 'p12'=solve(subs({omega[0]=1000,Q=4},denom(Pqe)));

(8.1.9)