Komplexně sdružená dvojice pólů a nula v nule (nulovém kmitočtu) - pásmová propust (PP)
Přenosová funkce je ve tvaru
> | Pq2:=subs({n1=0},Pq); |
(7.3.1) |
Např. pro a dostaneme následující kmotičtové charakteristiky
> | Pf:=subs({K=1000/4,omega[0]=1000,Q=4,p=I*omega},Pq2):
semilogplot(20*log10(abs(Pf)),omega=100..10000,y=-32..0,title=`Modulová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [dB]`,labels=[omega,`log|Pf|`],axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2,gridlines=true); semilogplot(180/Pi*argument(Pf),omega=100..10000,y=-90..90,title=`Fázová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [deg]`,labels=[omega,`Arg(Pf)`], axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2,gridlines=true); |
Volba byla určena tak, aby zisk v propustném pásmu byl právě 1, tj. 0dB, jelikož
> | 'Pq2(omega[0])=H[B]'=simplify(subs(p=I*omega[0],Pq2)); |
(7.3.2) |
Mmaximum modulové charakteristiky nastává pří kmitočtu a fáze přenosu je pro tento zlomový kmitočet () evidentmě nulová.
> | solve(diff(evalc(abs(subs(p=I*omega,Pq2))),omega),omega);
'phi__P(omega[0])'=simplify(evalc(argument(subs(p=I*omega[0],Pq2)))) assuming Q>1, K>0, omega[0]>0; |
(7.3.3) |
Nyní najděme kmitočet poklesu modulu přenosu o 3dB oproti maximu:
> | omega__12:=solve(evalc(abs(subs(K=omega[0]/Q,p=I*omega,Pq2)))=1/sqrt(2),omega);
evalf(subs({K=1000/4,omega[0]=1000,Q=4},[%])); |
(7.3.4) |
Je zřejmé, že 2. a 4. výsledek je záporný. Uvažujme tedy pouze dva výsledky a , které jsou ilustrovány na tomto obrázku a níže je důkaz uvedených skutečností.
> | 'omega[2]-omega[1]'=simplify(omega__12[3]-omega__12[1]); |
> | 'omega[1]*omega[2]'=simplify(omega__12[3]*omega__12[1]); |
(7.3.5) |
Časová odezva je následkující
> | Ptn:=invlaplace(subs({K=1000/4,omega[0]=1000,Q=4},Pq2), p, t);
plot(Ptn,t=0..0.03,title=`Impulzní charakteristika`,labels=[t,`Ptn `],labelfont=[HELVETICA],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=2); |
Jak bylo odvozeno výše, charakter odezvy je plně určen charakterem pólů přenosu, tj. kmitočet odezvy je dán imaginární částí pólu, zatímco tlumení je dáno jeho reálnou částí.
> | 'p12'=solve(subs({omega[0]=1000,Q=4},denom(Pq2))); |
(7.3.6) |
> |