Jeden pól v levé polorovině

Např. pro   p1 = -1000  a K = 1000  dostaneme  

>    P:=K/(p-p1);
pp:=abs(subs({K=1000,p1=-1000,p=sigma+I*omega},P)):pp:=unapply(%,(omega,sigma));

P := K/(p-p1)

pp := proc (omega, sigma) options operator, arrow; 1000/abs(sigma+omega*I+1000) end proc

>    complexplot([-1000],Re=-1100..1100,Im=-1.1..1.1,style=point,symbol=diamond,tickmarks=[1,1],title=`Umístění pólu p1`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],symbolsize=30);

[Maple Plot]

Takovýto přenos vykazuje například tento jednoduchý RC článek. (Pro ss. signál je P = 1 , proto K = -p1 .)  
                                                                            [Maple OLE 2.0 Object]

"Komplexní kmitočet" je ve tvaru   p = sigma+j*omega .

>    Surface:=plot3d(pp,1..3000,-200..200,style=patchnogrid,axes=box,orientation=[-60,50]):
curve_o:=[omega,0,pp(omega,0)]:
B_o:=spacecurve(curve_o,omega=1..3000,axes=none,color=black,thickness=3):
display(Surface,B_o,labels=[omega,sigma,`|pp|`],title=`Modul přenosu v závislosti na "kompexním kmitočtu" p`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8]);

[Maple Plot]

Je zřejmé, že pro klesající sigma  vzrůstá přenos (pro sigma = -1000  a omega = 0  vykazuje přenos maximum  ( pp = infinity )), jak je také vidět na následujícím grafu.

>    plot3d(pp,1..3000,-2000..200,style=patch,axes=box,orientation=[-60,50],labels=[omega,sigma,`|pp|`],title=`Modul přenosu v závislosti na "kompexním kmitočtu" p`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8]);

[Maple Plot]

Jestliže nyní vykreslíme průmět tohoto 3D grafu pro sigma = 0  (na prvním grafu označeno černou křivkou) , dostaneme známou modulovou chrakteristiku ( p = j*omega ). Na následujících průbězích je navíc ukázáno srovnání pro lineární a logaritmickou stupnici úhlového kmitočtu w   (3D grafy mají lineární měřítka). Zlomovým kmitočtem (kmitočtem, při němž modul přenosu poklesne o 3dB) je zde přímo hodnota pólu přenosové funkce.

>    plot(pp(omega,0),omega=1..3000,title=`Modulová charakteristika s lineárním měřítkem kmitočtu`,labels=[omega,`|pp|`],labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);
semilogplot(20*log10(pp(omega,0)),omega=1..3000,y=-10..0,title=`Modulová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu`,labels=[omega,`log|pp|`],axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

[Maple Plot]

[Maple Plot]

Jestliže provedeme inverzní Laplaceovu transformaci výrazu pro přenos, dostaneme rovnici pro příslušnou impulzní charakteristiku.

>    pt:=invlaplace(P, p, t);

pt := K*exp(p1*t)

Pro stabilní systém je nutné, aby po odeznění přechodovédo děje se výstupní veličina lineárního systému ustálila na konečné hodnotě. To znamená, že pól p1  musí být záporný, jak tomu je v tomto příkladě a což dokazuje následující výpočet i graf.

>    assume(p1<0);`pt `(t=infinity)=limit(pt,t=infinity);p1:='p1':
plot(subs({K=1000,p1=-1000},pt/1000),t=0..0.005,labels=[t,`pt*1000`],title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

`pt `(t = infinity) = 0

[Maple Plot]