Navrhněte dolní propust s následujícími parametry:
propustné pásmo f_p = 4 kHz,
útlum a_p = 3 dB,
nepropustné pásmo f_s = 64 kHz,
minimální útlum a_s = 40 dB.
DP navrhněte jako pasivní RC filtr s využitím různých postupů, výsledky porovnejte s LC filtrem.

1. Výchozí úvaha o postupu řešení
2. Kaskáda stejných článků
3. Kaskáda progresivních článků
4. Modifikovaná kaskáda s děličem na vstupu
5. Přemostěná kaskáda
6. LC filtr
7. Porovnání všech řešení

1. Výchozí úvaha o postupu řešení

   Návrh pasivních RC filtrů je orientován spíše na využívání konkrétních zapojení pro vybrané úlohy. Obecnější postupy byly publikovány především v šedesátých letech minulého století. Podrobnější informace lze v přehledové poloze nalézt např. v [1], podrobněji např. v [2].

   Pro zjednodušení dalších úvah přejdeme na NDP. Mez nepropustného pásma bude na normovaném kmitočtu O_s=16. Pro určení počtu článků RC filtru vyjdeme ze sklonu útlumové charakteristiky. Požadovaný sklon je větší než 20dB/dek, proto musíme použít minimálně dva články. S určitou rezervou uvažujme 3 články.

   Poznámka: Můžeme použít i sklon útlumové charakteristiky na oktávu (zdvojnásobení kmitočtu). Platí: 20 dB/dek. odpovídá 6 dB/oktávu. V našem případě 1-2, 2-4, 4-8, 8-16, tedy 4 oktávy. Jeden článek 6 dB/oktávu, tedy 24 dB na čtyři. Teoreticky tedy stačí 2 články s útlumem 48 dB. Prakticky ale musíme uvažovat i problém meze propustného pásma (nelze použít O_p = 1, protože se hodnota všech článků sečte, takže nedosáhneme 3 dB, proto se musí provádět přepočet).

   V [1,2] jsou uvedeny příslušné návrhové postupy. Pro kaskádu stejných článků a kaskádu progresivních článků je možné použít grafické řešení. Analytické řešení v obou případech vychází z řešení rovnice
   |G(jx)|^2 = 10 ^{0.1 a_p}.
   

2. Kaskáda stejných článků

   

   Po dosazení do výše uvedené rovnice dostaneme polynom:
   x₁⁶ + 13 x₁⁴ + 26 x₁² - 0.995 = 0 .
   Ze získaných kořenů vyhovuje reálný kladný
   x₁ = 0.194.
   Kořen představuje normovanou hodnotu kmitočtu meze propustného pásma. Musíte proto k této hodnotě přepočítat nově zadané parametry. Vyjdeme z úvahy:
   O₁ = x₁ = 0.194 tomu odpovídá f₁ = 4 kHz
   O₀ = 1 tomu odpovídá f_N = ?
   odtud f_N = 4 O₀ / O₁ = 20.62 kHz.
   Normovanou hodnotu kmitočtu meze nepropustného pásma vzhledem k novému normovacímu kmitočtu určíme ze vztahu:
   O₂ = f_s / f_N = 64 / 20.62 = 3.104.
   Dosazením do vztahu pro G(j x) ověříme, zda návrh vyhovuje:
   a_s(j O₂) = 20 log |G₃(j O₂)| = 33.7156 dB.
   Je tedy zřejmé, že návrh nevyhověl a bylo by třeba použít více článků. Pro přehled výpočet dokončíme:
   Zvolíme hodnotu kapacitoru - např. C = 3.3 nF a určíme odpovídající hodnotu rezistorů:
   R = 1/(2*3.14*f_N*C) = O₁/(2*3.14*f₁*C) = 0.194/(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 2339.1 Ohmů.

3. Kaskáda progresivních článků

   

   U kaskády progresivních článků je postup shodný s předchozím návrhem. Rozdíl je pouze v tom, že příslušná kaskádní matice pro odvození je současně funkcí koeficientu progrese a. Ten volíme s ohledem na hodnoty součástek. V našem případě volíme koeficient a = 2.2 (dostaneme tedy kapacitory pro volbu C₁=3.3nF, C₂=C₁/a=1.5nF, C₃=C₂/a=0.68nF=680pF).

   Opět dosadíme do výše uvedené rovnice a dostaneme polynom:
   x₁⁶ + 7.048 x₁⁴ + 9.154 x₁² - 0.995 = 0
   Ze získaných kořenů vyhovuje reálný kladný
   x₁ = 0.317.
   Stejným postupem jako v předchozím případě pro zvolenou hodnotu kapacitoru C = 3.3 nF určíme odpovídající hodnotu rezistoru:
   R = 1/(2*3.14*f_N*C) = O₁/(2*3.14*f₁*C) = 0.317/(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 3822.13 Ohmů.
   Tím jsme dokončili návrh prvého členu kaskády. Další prvky pak získáme s využitím koeficientu progrese a podle vztahů:
   R_i+1 = R_i*a ,
   C_i+1 = C_i/a .
   Výsledné hodnoty prvků jsou uvedeny v následující tabulce:

   pořadí	R [Ohm]	C [nF]
   1	3822.13	3.3
   2	8408.69	1.5
   3	18499.11	0.68

4. Modifikovaná kaskáda s děličem na vstupu

   

   V tomto případě vyjdeme ze vztahu pro minimální útlum v daném zapojení.
   a_s = 20 log {aC + 23C + 29aC + 4C/a} / {aC}
   kam dosadíme
   a_s = 40 ,
   C = 3.3 nF .
   Vhodným řešením této rovnice je a = 0.454342. Volíme a=0.45 (musíme zaokrouhlit směrem "dolů", protože v tom případě se a_s bude zvětšovat).
   Pak C₂ = 23*C + 29*0.45*C + 4*C/0.45 = 44.94*C.
   Opět použijeme rovnici
   |G(jx)|^2 = 10 ^{0.1 a_p}
   a po dosazení dostaneme polynom
   2059.848 x₁⁶ + 26867.95 x₁⁴ + 54840.736 x₁² - 2329.884 = 0 .
   Vyhovujícím řešením je kořen x₁ = 0.204.
   Dále standardně určíme hodnotu rezistoru R:
   R = 0.204 /(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 2459.67 Ohmů
   a hodnoty kapacitorů v děliči:
   C₁ = a * C = 0.45 * 3.3 = 1.485 nF
   C₂ = 23*C + 29*0.45*C + 4*C/0.45 = 44.94*C = 148.3 nF .
   

5. Přemostěná kaskáda

   

   V tomto případě je poloha pólu i hodnota kapacitoru pevně dána řádem, takže standardně najdeme vyhovující kořen rovnice:
   0.176 x₁⁶ + 15.175 x₁⁴ + 29.6 x₁² - 0.995 = 0 .
   Dostaneme x₁ = 0.182. Dále pak standardně pro zvolenou hodnotu kapacitoru C=3.3 nF určíme:
   R = 0.182 /(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 2194.41 Ohmů.
   Hodnotu přemosťující kapacity určíme ze vztahu
   C_p = C / 12 = 0.275 nF.
   

6. LC filtr

   Pro zadané požadavky vychází stupeň pro běžné standardní aproximace n = 2. Použijeme tedy Butterworthovu aproximaci, zapojení naprázdno. V [3] na straně 131 najdeme hodnoty prvků NDP pro zapojení naprázdno:
   l₁ = 0.7071, C₂ = 1.414 .
   Z nich vypočteme kmitočtově odnormované hodnoty:
   l_1o = l₁/O_p = l₁/{2*3.14*f_p} = 0.7071/{2*3.14*4000} = 2.8135 e-5
   c_2o = c₂/{2*3.14*f_p} = 1.414/{2*3.14*4000} = 5.6261 e-5
   Pokud chceme opět použít hodnotu kapacitoru C=3.3 nF, vypočteme si potřebnou hodnotu odporu pro impedanční odnormování:
   R₀ = c/C = 5.6261e-5 / 3.3e-9 = 17048.87 Ohmů.
   Tím je dána hodnota rezistoru, hodnotu induktoru získáme impedančním odnormováním (vynásobením):
   L₁ = l_1o*R₀ = 2.8135e-5*17048.87 = 0.4797 H.
   

7. Porovnání všech řešení

   V [1] na straně 28 je uveden graf porovnávající jednotlivé modulové charakteristiky všech zapojení.