Martin Kolář
kolarm3@fel.cvut.cz

Članek obsahuje příklad postupu návrhu filtru typu Doplní Propust, který má sloužit jako antialiasingový filtr pro předzpracování obrazového  signálu  pro digitalizaci. Pro jeho realizaci byla použita funkční simulace pasivního LC filtru a jako aktivní prvek byl použit transkonduktanční operační zesilovač OTA-C

Obsah:

1. Zadání

DP pro předzpracování video signálu

DP má sloužit jako antialiasingový filtr pro předzpracování obrazového signálu pro digitalizaci. Propustné pásmo: 0 - 4,5 MHz / a_p < 0,5 dB. Nepropustné pásmo volte s ohledem na vzorkovací kmitočet 12 MHz a 8-bitovou digitalizaci.  Doplňkovým požadavkem je vyrovnání skupinového zpoždění filtru tak, aby bylo konstantní v celém propustném pásmu s maximální chybou ± 20 %. 
Doporučení: 
Realizujte jako aktivní filtr RC. Zvažte možnost řešení v proudovém módu.

2. Sestavení tolerančního schématu

a)	Nezpřísněné hodnoty tolerančního schématu:
	Mez propustného pásma fp:   4,5 MHz Mez propustného pásma fs:   6 MHz ap   0,4 dB as   48,2 dB
	Mez propustného pásma - volíme na základě zadaných hodnot pro propustné pásmo.   Mez nepropustného pásma - volíme polovinu vzorkovacího kmitočtu, aby nedocházelo k překrývání spekter při dalším zpracování signálu.   ap - volíme na základě zadání. as - volíme na základě počtu bitů při vzorkování.
	kde n je počet bitů při vzorkování.
b)	Zpřísnění požadavků na toleranční schéma s ohledem na rezervy nutné pro respektování skutečných vlastností obvodových prvků při realizaci:
	1) Na útlumové ose     2) Na kmitočtové ose   Provozní teploty filtru: Maximální teplota působící na filtr:   Pro mez propustného pasma     Pro mez nepropustného pásma
	Zpřísněné hodnoty toleračního schématu
	Mez propustného pásma fp:   4509000 Hz Mez propustného pásma fs:   5988000 Hz ap   0,2 dB as   51,2 dB

3. Výběr aproximace

Porovnání vypočtených parametrů jednotlivých aproximací pro zpřísněné toleranční schéma

Butterworthova aproximace má sice monotonní průběh v propustném pásmu, ale má příliš veliký stupeň (veliký počet součástek).

Čebyševova aproximace má nejhorší vlastnosti skupinového zpoždění, dost vysoký stupeň a i nevýhodu zvlněného propustného pásma.

Inverzní Čebyševova aproximace má sice poměrně vysoký stupeň, ale má nezvlněné propustné pásmo tím dobré skupinové zpoždění v propustném pásmu. Proto se jeví jako nejvýhodnější pro realizaci daného filtru.

Cauerova aproximace má sice nejmenší stupeň, ale její nevýhody jsou zvlněné propustné pásmo a ne příliš dobré skupinové zpoždění.

Vzájemné porovnání přesnosových funkcí vypočtených pomocí internetové stránky [4] a skupinových zpoždění jednotlivých aproximaxí je provedeno v MATLABu (porovnej.m, porovnej.doc).

4. Výběr realizační struktury

Při realizaci daného aktivního filtru jsem vzhledem k velikosti pracovních frekvencí jako aktivní prvek použil transkonduktanční operační zesilovač (OTA-C), který umožňuje dosáhnout vyššího mezního kmitočtu i rychlosti přeběhu (umožňuje zavedení proudové zpětné vazby).
Pro návrh obvodové struktury jsem použil funkční simulaci pasivního LC filtru, která je výhodná pro realizaci filtrů vyšších řádů s OTA-C a je velmi dobře aplikovatelná ve filtrech v proudovém módu. Výsledný filtr by se realizoval v integrované podobě.
Nevýhodou tohoto řešení je obtížná optimalizace dynamických poměrů uvnitř obvodové struktury filtru a existence "plovoucích" kapacitorů, která v případě monolitické integrace filtru klade vyšší nároky na výrobní technologii.

5. Návrh filtru s ideálními prvky

Při návrhu funkční simulace vycházíme z příčkové struktury vytvořené pro danou aproximaci. Původně zamýšlené řešení, pomocí Invezní Čebyševovy aproximace, se pro daný filtr nedá použít kvůli zápornému prvku v příčkové struktůře LC. Jako náhradu proto volím též vhodnou Caerovu aproximaci, která má sice zvlnění v propustném pásmu, ale nejmenší stupeň a skupinové zpoždění jen o trochu horší než Inverzní Čebyšev.

Výchozí příčková struktura:

Obr.1: Zapojení výchozí normované dolní propusti

r_i = 1.0; c₁ = 1.1305; l₂ = 1.0907; c₂ = 0.2785; c₃ = 1.6773; l₄ = 0.9480; c₄ = 0.5437; c₅ = 1.7049; l₆ = 0.8944; r_z = 0.65.

Z ekvivalentního obvodu pro normovanou dolní propust sestavíme obvodové rovnice (proudy podélných větví a napětí příčných větví, proudy vynásobíme pomocným normovacím odporem R).

Obr.2: Ekvivalentní obvod k modifikovaným rovnicím

Tuto soustavu rovnic realizujeme přímo s využitím integrátorů OTA-C. Tomu odpovídá následující blokové uspořádání.

Obr.3: Obvodové řešení se zpětnovazebními integrátory

Konkrétnímu obvodovému řešení na bázi integrátorů OTA-C odpovídá následující zapojení, které je přímou realizací blokové struktury. Je použita varianta se zjednodušenou realizací výstupní větve, s volbou pomocného normovacího odporu R = r_z. Při výpočtu parametrů porovnáme přenosy jednotlivých větví blokové struktury s přenosy integrátoru OTA-C. Platí tedy

přičemž volitelným parametrem je g_m.

Obr.4: Zapojení výsledného filtru s integrátory OTA-C

Normované hodnoty prvků pro dané zapojeni:

Pro nastavení optimálních dynamických poměru uvnitř obvodu, bez dalších pomocných funkčních bloků zařazených do jednotlivých dílčích smyček obvodové struktury, použijeme pomocný napěťový zesilovač zařazený na výstup filtru. Tento zesilovač bude mít zesílení A = 1/|H(0)|, kde |H(0)| reprezentuje základní přenos filtru pro = 0. Dodatečným zesílením se dosáhne úpravy konstanty přenosu h₀ = A|H(0)| na jednotkovou hodnotu a zároveň se dynamická převýšení vyrovnají na úroveň zesílení výstupního signálu.

Kmitočtové a impedanční odnormování:

S ohledem na realizovatelné hodnoty kapacit kondenzátorů uvažujeme hodnotu transkonduktance OTA g_{m skut} = 300 µS.

Odnormované hodnoty prvků:

6. Ověření návrhu a realizace

a)	S ideálními součáskami
	Ideální transkonduktanční zesilovač je v principu napětím řízený zdroj proudu, charakterizovaný reálnou kmitočtově nezávislou transkonduktanci gm. Pro kterou platí i0 = gmui. Výpis programu pro PSpice:   filtr.cir V1 1 0 ac 1; Vstupní napětí s modulem 1 a nulovou fází R 1 0 10G; G1 4 0 1 2 -0.195e-3; OTA-C G01 R1 4 0 10G; G2 4 0 0 4 -0.3e-3; OTA-C G02 R2 4 0 10G; G3 5 0 2 3 -0.3e-3; OTA-C G1 R3 5 0 10G; G4 2 0 4 5 -0.3e-3; OTA-C G2 R4 2 0 10G; G5 3 0 5 6 -0.3e-3; OTA-C G3 R5 3 0 10G; G6 6 0 3 7 -0.3e-3; OTA-C G4 R6 4 6 10G; G7 7 0 6 8 -0.3e-3; OTA-C G5 R7 7 0 10G; G8 8 0 7 8 -0.3e-3; OTA-C G6 R8 8 0 10G; CI1 2 0 7.78pF; CI2 5 0 17.77pF; CI3 3 0 11.54pF; CI4 6 0 15.44pF; CI5 7 0 11.73pF; CI6 8 0 14.57pF; Cx2 2 3 1.92pF; Cx4 3 7 3.74pF; E1 9 0 8 0 -2.5; Zesilovač A se zesílením 1/|H(0)| .ac lin 100 100 100Meg .probe .end Kde odpory R až R9 jsou pouze pomocné, pro spuštění simulace v programu PSpice. Graf 1: Průběh v nepropustném pásmu Graf 2: Průběh v propusném pásmu Zvlnění v propustném pásmu odpovídá požadovaným hodnotám na filtr. Kmitočet v nepropustném pásmu při -51,2 dB neodpovídá frekvenci požadované v přísněných požadavcích. Tato chyba není způsobena špatným návrhem nebo simulací, ale použitím špatné přenosové funkce.
b)	S reálnými součáskami
	Reálný OTA má kmitočtově závislou transkonduktanci gm = gm(j), ale na rozdíl od zesílení OZ je kmitočtová závislost gm podstatně příznivější a kmitočet dominantního pólu je běžně v oblasti stovek kHz až jednotek MHz. Vstupní a výstupní impedance jsou konečné. S ohledem na proudový (tj. vysokoimpedanční) výstup OTA je výraznější vliv výstupní impedance.
	Model OTA: Obr.5: Model transkonduktančního zesilovače OTA Kde rezistor R0 volíme 1000 až 10000 krát 1/gm. Kondenzátory Ci a Co mají velikost jednotky až desítky pF. Při návrhu lze s nimi počítat (jejich hodnoty se sčítají s hodnotami kondenzátoru CI) a při reálných vlastnostech se potom neuplatní. Při volbě R0 1000 krát 1/gm a neuvažování vstupních a výstupních kapacit se zvlnění v propustném pásmu zvětšilo z 200 mdB na 223 mdB, hodnota v nepropustném pásmu při 51,2 dB se téměř nezměnila.   Při volbě těchto parametrů náhradního modelu OTA filtr splňuje požadavky zadání.

Obr.6: Uvažovnání realních vlasností transkonduktančního zesilovače OTA

Obrázek naznačuje jak se vstupní a výstupní kapacity zesilovačů OTA přičítají k jednotlivým kapacitám integrátorů. Pokud budeme znát přibližné hodnoty vstupních a výstupních kapacit zesilovačů OTA, potom o tyto hodnoty zmenšíme integrační kapacity (při návrhu filtrů z OTA-C zesilovači je proto vhodné volit takové hodnoty g_m, aby šli vypočtené kondenzátory integrátoru realizovat i při odečtení parazitních kapacit). Tím se neuplatní vstupní a výstupní kapacity při reálných vlastnostech. Kapacity připojené paralelně ke zdroji napětí a na zemnící svorky se neuplatní. Jediné kapacity, které by se mohli negativně projevit jsou kapacity ve smyčce 1 (uzel v_i).
Při simulaci s kapacitou mezi body v_i a zemí o velikosti 4 pF nedošlo k téměř žádné změně amplitudové charakteristiky filtru. Při velikosti kapacity 40 pF došlo ke zvětšení zvlnění v propustném pásmu na 6 dB a k posunutí meze propustného i nepropustného pásma viz. Graf 3. parkap.cir

Graf 3: Simulace s uvažováním parazitních kapacit v uzlu v_i

7. Vyrovnání skupinového zpoždění

a)	Vyrovnání skupinového zpoždění zpřísněním kmitočtu propustného pásma
	Jednou z možností jak vyrovnat skupinové zpoždění v propustném pásmu je zpřísnit kmitočet propustného pásma fp. Zvýšením kmitočtu fp dojde k rozšíření propustného pásma a zúžení přechodového pásma a tím k posunutí maxima skupinového zpoždění na hodnotu nového kmitočtu propustného pásma. Čímž dojde k částečnému vyrovnání skupinového zpoždění vzhledem k původnímu propustnému pásmu. Vlivem zpřísňování dochází ovšem také k nárůstu stupně aproximace (počtu součástek). Závěr: Pro Cauerovu aproximaci jsem zpřísňoval hodnoty fp postupně na 5 MHz, 5,2 MHz a na 5,5 MHz. Skupinové zpoždění se ani při zvýšení kmitočtu fp na hodnotu 5,5 MHz (±45%) nepovedlo vyrovnat tak, aby splňovalo požadované zadání. Dosažené průběhy jsou porovnány na grafech Korigování skup. zp. zpřísněním fp na 5MHz, 5.2MHz, 5.5MHz - Cauer zpris_fp.m, grdelays.m, rozbal.m.
b)	Vyrovnání skupinového zpoždění pomocí fázovacích článku
	Obecně Skupinové zpoždění součinu přenosových funkcí H(p) = H1(p)H2(p) je dáno součtem skupinových zpoždění . Pro vyrovnávač skupinového zpoždění obecně platí
	kde K je konstanta,   je skupinové zpoždění filtru,   je skupinové zpoždění vyrovnavače, které je doplňkovou funkcí charakteristiky filtru,   je povolená změna skupinového zpoždění v korigovaném kmitočtovém pásmu.
	Postup při korigování skupinového zpoždění Při analýze vyrovnávačů skupinového zpoždění pracujeme, s normovanými veličinami. Označíme-li jako nejvyšší kmitočet korigovaného pásma , pak pro normování kmitočtu platí vztah a normované skupinové zpoždění je dáno vztahem Z daných vstupních normovaných parametrů a tabulek pro vyrovnávače skupinového zpoždění prvního a druhého řádu viz. skripto [2] se snažíme složit takové výsledné skupinové zpoždění, aby splňovalo požadavky zadání. U fázovacích článků 2. řádu volíme parametr Q podle tabulky 7.3 v závislosti na potřebné velikosti skupinového zpoždění doplňkového ke zpoždění daného filtru. Vztah přenosové funkce a skupinového zpoždění fázovacího článku 2. řádu:
	Realizace fázovacího článku pomocí zesilovačů OTA-C Pro realizaci fázovacího článku je možné využít vícevstupové uspořádání Bikvadu OTA-C. Obr.7: Bikvad OTA-C pro realizaci fázovacího článku Jednotlivé hodnoty parametrů pro realizaci fázovacího článku získáme porovnáním přenosové funkce fázovacího článku druhého řádu s přenosovou funkcí daného zapojení: postupným zjednodušováním dostaneme z toho volíme gm4,C1, C2 známe hodnoty , Q a zbývající hodnoty dopočítáme. Fázovací články druhého řádu pro vyrovnání skupinového zpoždění na požadovanou hodnotu mají tyto parametry (jejich hodnotu jsem určil v MATLABu pomocí vyrovsz.m, grdelays.m, rozbal.m): Hodnoty fázovacích článků potom jsou:
	Schéma pro měření filtru s fázovacími články: Obr.8: Zapojení pro měření filtru s fázovacími články Graf 4: Simulace filtru s fázovacími články skupzp.cir Při simulaci filtru s fázovacími články s ideálními součástkami vyšlo skupinové zpoždění filtru shodné jako při vyrovnávání skupinového zpoždění přenosové funkce filtru v MATLABu. Fázovací články nijak neovlivnily amplitudovou charakteristiku. Při vyrovnání pomocí těchto tří fázovacích článků je chyba v celém propustném pásmu ±12,4 %.

8. Realizace proudového módu

Filtr v proudovém módu vytvoříme přidruženou transformací z filtru pracujícího v napěťovém módu. Transformace zachovává vlastnosti výchozího obvodu.

Postup:

1. Zaměníme vstup a výstup obvodu při zachování impedančních poměrů zakončení.

   

2. Pasivní síť obvodu zachováme beze změny.
3. U dvojbranových prvků změníme opět vstupní a výstupní brány při dodržení podmínky, že se nesmí změnit charakter impedance brány (napětím řízený zdroj proudu - OTA zůstane napětím řízený zdroj proudu).

Výsledné schéma filtru v proudovém módu:

Obr.9: Zapojení filtru s integrátory OTA-C v proudovém módu

  
    I1 1 0 ac 1;

    G8 2 1 1 0 -0.3e-3; G7 3 1 2 0 -0.3e-3;
    G6 4 2 3 0 -0.3e-3; G5 5 3 4 0 -0.3e-3;
    G4 6 4 5 0 -0.3e-3; G3 7 5 6 0 -0.3e-3;
    G2 0 7 7 0 -0.3e-3; G1 8 6 7 0 -0.195e-3;

    Rp 8 0 0.00001p;

    CI6 1 0 14.57pF;  CI5 2 0 11.73pF;
    CI4 3 0 15.44pF;  CI3 4 0 11.54pF;
    CI2 5 0 17.77pF;  CI1 6 0 7.78pF;

    Cx2 6 4 1.92pF;   Cx4 4 2 3.74pF;
  

kde R_p je pomocný snímací odpor pro určení výstupního proudu.

Graf 5: Průběh v nepropustném pásmu	Graf 6: Průběh v propusném pásmu

9. Alternativní návrhy

10. Shrnutí návrhu

Původně zamýšlené řešení, Invezní Čebyševovou aproximací, se pro daný obvod nedalo použít kvůli zápornému prvku v příčkové struktuře LC. Proto jsem jako náhradu zvolil též vhodnou Cauerovu aproximaci, která má ze zbývajících aproximací nejvhodnější vlastnosti pro realizaci daného filtru a příčková struktura u ní šla realizovat. Navržený filtr je podobný jako v příkladu 6.8 na straně 181 [1].
Realizaci filtru jsem ovšem prováděl z přenosové funkce (vypočtené pomocí internetové stránky [4]), která nesplňuje požadavky tolerančního schématu. Pro splnění zadání by stačilo přepočítat hodnoty filtru (po dalším zpřísnění tolerančního schématu).
Při simulaci filtru v napěťovém a proudovém mód vycházeli srovnatelné výsledky.
Skupinové zpoždění v propustném pásmu realizovaného filtru jsem vyrovnal pomocí třech fázovacích článků druhého řádu s OTA-C zesilovači z chyby ± 64% na ± 12,4%.
Při simulaci filtru spolu s fázovacími články s modelem transkonduktančního zesilovače OTA-C podle obrázku 5 nebyli splněny požadavky jak pro amplitudovou charakteristiku tak pro skupinové zpoždění ani pro parametry modelu C_i,C_o = 0.1 pF a R_o = 10 M. Chybu při simulaci s reálnými OTA-C zesilovači způsobují hlavně fázovací články realfilt.cir.

Použitá literatura