Navrhněte dolní propust s následujícími parametry:
propustné pásmo fp = 4 kHz,
útlum ap = 3 dB,
nepropustné pásmo fs = 64 kHz,
minimální útlum as = 40 dB.
DP navrhněte jako pasivní RC filtr s využitím různých postupů, výsledky
porovnejte s LC filtrem.
Návrh pasivních RC filtrů je orientován spíše na využívání konkrétních zapojení pro vybrané úlohy. Obecnější postupy byly publikovány především v šedesátých letech minulého století. Podrobnější informace lze v přehledové poloze nalézt např. v [1], podrobněji např. v [2].
Pro zjednodušení dalších úvah přejdeme na NDP. Mez nepropustného pásma bude na normovaném kmitočtu Os=16. Pro určení počtu článků RC filtru vyjdeme ze sklonu útlumové charakteristiky. Požadovaný sklon je větší než 20dB/dek, proto musíme použít minimálně dva články. S určitou rezervou uvažujme 3 články.
Poznámka: Můžeme použít i sklon útlumové charakteristiky na oktávu (zdvojnásobení kmitočtu). Platí: 20 dB/dek. odpovídá 6 dB/oktávu. V našem případě 1-2, 2-4, 4-8, 8-16, tedy 4 oktávy. Jeden článek 6 dB/oktávu, tedy 24 dB na čtyři. Teoreticky tedy stačí 2 články s útlumem 48 dB. Prakticky ale musíme uvažovat i problém meze propustného pásma (nelze použít Op = 1, protože se hodnota všech článků sečte, takže nedosáhneme 3 dB, proto se musí provádět přepočet).
V [1,2] jsou uvedeny příslušné návrhové postupy. Pro kaskádu stejných článků
a kaskádu progresivních článků je možné použít grafické řešení. Analytické řešení
v obou případech vychází z řešení rovnice
|G(jx)|^2 = 10 0.1 ap.
Po dosazení do výše uvedené rovnice dostaneme polynom:
x16 + 13 x14
+ 26 x12 - 0.995 = 0 .
Ze získaných kořenů vyhovuje reálný kladný
x1 = 0.194.
Kořen představuje normovanou hodnotu kmitočtu meze propustného pásma. Musíte proto
k této hodnotě přepočítat nově zadané parametry. Vyjdeme z úvahy:
O1 = x1 = 0.194 tomu odpovídá f1 = 4 kHz
O0 = 1 tomu odpovídá fN = ?
odtud fN = 4 O0 / O1 = 20.62 kHz.
Normovanou hodnotu kmitočtu meze nepropustného pásma vzhledem k novému normovacímu
kmitočtu určíme ze vztahu:
O2 = fs / fN = 64 / 20.62 = 3.104.
Dosazením do vztahu pro G(j x) ověříme, zda návrh vyhovuje:
as(j O2) = 20 log |G3(j O2)| = 33.7156 dB.
Je tedy zřejmé, že návrh nevyhověl a bylo by třeba použít více článků. Pro přehled
výpočet dokončíme:
Zvolíme hodnotu kapacitoru - např. C = 3.3 nF a určíme odpovídající hodnotu rezistorů:
R = 1/(2*3.14*fN*C) = O1/(2*3.14*f1*C) =
0.194/(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 2339.1 Ohmů.
U kaskády progresivních článků je postup shodný s předchozím návrhem. Rozdíl je pouze v tom, že příslušná kaskádní matice pro odvození je současně funkcí koeficientu progrese a. Ten volíme s ohledem na hodnoty součástek. V našem případě volíme koeficient a = 2.2 (dostaneme tedy kapacitory pro volbu C1=3.3nF, C2=C1/a=1.5nF, C3=C2/a=0.68nF=680pF).
Opět dosadíme do výše uvedené rovnice a dostaneme polynom:
x16 + 7.048 x14
+ 9.154 x12 - 0.995 = 0
Ze získaných kořenů vyhovuje reálný kladný
x1 = 0.317.
Stejným postupem jako v předchozím případě pro zvolenou
hodnotu kapacitoru C = 3.3 nF určíme odpovídající hodnotu rezistoru:
R = 1/(2*3.14*fN*C) = O1/(2*3.14*f1*C) =
0.317/(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 3822.13 Ohmů.
Tím jsme dokončili návrh prvého členu kaskády. Další prvky pak získáme s využitím
koeficientu progrese a podle vztahů:
Ri+1 = Ri*a ,
Ci+1 = Ci/a .
Výsledné hodnoty prvků jsou uvedeny v následující tabulce:
pořadí | R [Ohm] | C [nF] |
---|---|---|
1 | 3822.13 | 3.3 |
2 | 8408.69 | 1.5 |
3 | 18499.11 | 0.68 |
V tomto případě vyjdeme ze vztahu pro minimální útlum v daném zapojení.
as = 20 log {aC + 23C + 29aC + 4C/a} / {aC}
kam dosadíme
as = 40 ,
C = 3.3 nF .
Vhodným řešením této rovnice je a = 0.454342. Volíme a=0.45 (musíme zaokrouhlit
směrem "dolů", protože v tom případě se as bude zvětšovat).
Pak C2 = 23*C + 29*0.45*C + 4*C/0.45 = 44.94*C.
Opět použijeme rovnici
|G(jx)|^2 = 10 0.1 ap
a po dosazení dostaneme polynom
2059.848 x16 + 26867.95 x14
+ 54840.736 x12 - 2329.884 = 0 .
Vyhovujícím řešením je kořen x1 = 0.204.
Dále standardně určíme hodnotu rezistoru R:
R = 0.204 /(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 2459.67 Ohmů
a hodnoty kapacitorů v děliči:
C1 = a * C = 0.45 * 3.3 = 1.485 nF
C2 = 23*C + 29*0.45*C + 4*C/0.45 = 44.94*C = 148.3 nF .
V tomto případě je poloha pólu i hodnota kapacitoru pevně
dána řádem, takže standardně najdeme vyhovující kořen rovnice:
0.176 x16 + 15.175 x14
+ 29.6 x12 - 0.995 = 0 .
Dostaneme x1 = 0.182. Dále pak standardně pro zvolenou hodnotu
kapacitoru C=3.3 nF určíme:
R = 0.182 /(2*3.14*4*1000*3.3*1e-9) = 2194.41 Ohmů.
Hodnotu přemosťující kapacity určíme ze vztahu
Cp = C / 12 = 0.275 nF.
Pro zadané požadavky vychází stupeň pro běžné standardní
aproximace n = 2. Použijeme tedy Butterworthovu aproximaci, zapojení naprázdno.
V [3] na straně 131 najdeme hodnoty prvků NDP pro zapojení naprázdno:
l1 = 0.7071, C2 = 1.414 .
Z nich vypočteme kmitočtově odnormované hodnoty:
l1o = l1/Op = l1/{2*3.14*fp} =
0.7071/{2*3.14*4000} = 2.8135 e-5
c2o = c2/{2*3.14*fp} =
1.414/{2*3.14*4000} = 5.6261 e-5
Pokud chceme opět použít hodnotu kapacitoru C=3.3 nF, vypočteme si potřebnou hodnotu
odporu pro impedanční odnormování:
R0 = c/C = 5.6261e-5 / 3.3e-9 = 17048.87 Ohmů.
Tím je dána hodnota rezistoru, hodnotu induktoru získáme impedančním odnormováním
(vynásobením):
L1 = l1o*R0 = 2.8135e-5*17048.87 = 0.4797 H.
V [1] na straně 28 je uveden graf porovnávající jednotlivé modulové charakteristiky všech zapojení.