Časové odezvy systémů se dvěma póly

Pro výše popsaný přenos lze najít pomocí zpětné Laplaceovy transformace výraz pro impulzní charakteristiku,

> pt:=invlaplace(P, p, t);

což je zřejmé, uvědomíme-li si, že lze zmíněný přenos přepsat do tvaru sočtu částečných zlomků.

> P=convert(P,parfrac,p);

Pro obecně zadané komlexně sdružené póly přenosu ( , ), lze potom impulzní charakteristiku vyjádřit ve tvaru:

> ptt:=subs({p1=sigma[n]+I*omega[n],p2=sigma[n]-I*omega[n]},pt);
`Re(ptt)`=evalc(Re(ptt));`Im(ptt)`=evalc(Im(ptt));

Úpravou tvaru ptt (vyjádřením reálné části) jsme získali předpokládaný výsledek. Je zřejmé, že imaginární část reálného signálu (odezvy) musí být nulová.

Dříve než si ukážeme konkrétní průběh impulzní charakteristiky, zastavme se u daného výsledku impuzní charakteristiky Re(ptt) . Je vidět, že přítomnost komplexně sdružených pólů v přenosové funkci má za následek výskyt tlumené harmické složky ve výstupním signálu (přirozené odezvě). Kmitočet sinusové složky je roven přirozenému (vlastnímu) kmitočtu ; se nazývá absolutním činitelem tlumení . Jak je z vidět ze vztahu Re(ptt), musí být pro stabilní systém tento činitel záporný, resp. musí platit .

Nyní roznásobíme výraz pro přenos a dosadíme za kořeny výrazy , .

> Pk:=K/expand(subs({p1=sigma[n]+I*omega[n],p2=sigma[n]-I*omega[n]},denom(P)));

Provedeme nové přiřazení, které jak dále ukážeme bude výhodné pro charakterizaci přenosů s koplexními póly .

> omega[0]^2=omega[n]^2+sigma[0]^2;
xi=abs(sigma[n])/omega[0];
Q=omega[0]/2/abs(sigma[n]);

Je patrné, že vyjadřuje modul pólu (| p1 | = | p2 |). Tento kmitočet je vlastně zlomovým kmitočtem modulové charakteristiky stabilního systému, přičemž si musíme uvědomit, žě v případě koplexně združeného pólu zaávisí tvar kmitočtových charakteristik jak na , tak na nebo (při dvojnásobném reálném pólu vykazuje modul přenosu pro pokles o 6dB). Jelikož výše zmíněný absolutní činitel tlumení není výhodné udávat, protože bychom jej museli udávat spolu s vlastním kmitočtem , definujeme činitel nebo častěji Q. Činitel se pro stabilní systém ( < 0) nazývá relatinní činitel tlumení a činitel Q činitel jakosti příslušející dané dvojici komlexně sdružených pólů. Vztah mezi zlomovým kmitočtem a je zřejný z následujících rovností, nebo názorněji z níže uvedených obrázků. Činitel jakosti Q navíc velmi názorně vystihuje průběh modulové charakteristiky, jak dále ukážeme. Při zlomovém kmitočtu může modulová charakteristika vykazovat jak překmit, tak pokles oproti "asymptotické" hodnotě, přičemž skutečná hodnota modulu přenosu při tomto kmitočtu je Q násobkem "asymptotické" hodnoty.

Předpokládejme kořeny v levé polorovině ( ). Výraz pro přenos nyní můžeme přepsat do následujícího tvaru.

> Pkq:=subs({omega[n]^2=omega[0]^2-(omega[0]/2/Q)^2,sigma[n]=-omega[0]/2/Q},Pk);

Pro kořeny platí:

> sol:=solve(denom(Pkq),p);

Podle hodnoty činitele jakosti Q můžeme provést následující dělení (pro jednoduchost volíme pro všechny případy stejný kmitočet = 1000, aniž bychom se dopustili jakéhokoliv omezení obecnosti).

1. Pro Q < 1/2 dostaneme dva různé reálné póly, pro něž má impulzní charakteristika následující tvar a průběh.

> `Q=1/10`;
p11:=evalc(subs({Q=1/10,omega[0]=1000},sol[1]));
p12:=evalc(subs({Q=1/10,omega[0]=1000},sol[2]));
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt)));
plot(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt),t=0..0.05,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

2. Pro Q = 1/2 dostaneme dva stejné reálné póly (dvojnásobný pól), pro něž má impulzní charakteristika následující tvar a průběh. Pro tento případ však musíme nejprve přepočítat obecný vztah pro pt z upraveného vztahu pro přenos. Modulová charakteristika právě nebude vykazovat překmit a pokles chrakteristiky v bodě zlomu je 6 dB.

> P2:=K/(p-p1)^2;
pt2:=invlaplace(P2, p, t);
`Q=1/2`;
p11:=evalc(subs({Q=1/2,omega[0]=1000},sol[1]));
p12:=evalc(subs({Q=1/2,omega[0]=1000},sol[2]));
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1000^2,p1=p11},pt2)));
plot(subs({K=1000^2,p1=p11},pt2),t=0..0.05,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

3. Pro Q > 1/2 dostaneme dva komplexně sdružené póly se zápornou reálnou částí, pro něž má impulzní charakteristika kmitavý, harmonický, tlumený průběh. Jak rychle se tato kmitavá odezva utlumí, záleží na velikosti činitele tlumení, resp. na hodnotě činitele jakosti Q . Je samozřejmé, že se při měnící hodnotě , bude měnit i tvar příslušné modulové charakteristiky (při vzrůstajícím Q se bude zvětšovat i velikost "překmitu" na modulvé charakteristice). Zde je nutné ještě rozlišovat několik případů.

> Tehdy je > a tlumení je tak velké, že se signál prakticky dříve utlumí, než dojde k periodickým kmitům (vzniká jeden až dva překmity). Na tomto příkladě je velmi dobře vidět důvod a výhody definice činitele jakosti, který udává "velikost tlumení" relativně k délce periodě vlastních kmitů, oproti absolutnímu činiteli tlumení, který je vztažen pouze k času t . Modulová charakteristika nebude ještě vykazovat překmit.

Toto je zvláštní případ, kdy = . Impulzní charakteristika je sice méně tlumena než v předchozím případě. Tlumení je však stále velké, takže opět dojde jen k jednomu, dvěma 7překmitům. Modulová charakteristika ještě nebude vykazovat překmit a pokles chrakteristiky v bodě zlomu je 3dB. Jedná se o tzv. Maximálně plochou modulovou chrakteristiku .

Tehdy je a tlumení je již malé natolik, že je na impulzní charakteristice zřetelně vidět přítomnost harmonické složky. Modulová charakteristika bude vykazovat překmit, tak jak bylo ukázáno výše.

Nyní následují ukázky k jednotlivým bodům.

> `Q=0.6`;
p11:=evalc(subs({Q=0.6,omega[0]=1000},sol[1]));
p12:=evalc(subs({Q=0.6,omega[0]=1000},sol[2]));
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt)));
plot(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt),t=0..0.05,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

> `Q=1/sqrt(2)`;
p11:=evalc(subs({Q=1/sqrt(2),omega[0]=1000},sol[1]));
p12:=evalc(subs({Q=1/sqrt(2),omega[0]=1000},sol[2]));
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt)));
plot(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt),t=0..0.05,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

Pro tento případ ukážeme navíc odpovídající průběh modulové chrakteristiky přenosu - maximálně ploché.

> `Q=1/sqrt(2)`;
modul:=evalc(abs(subs({Q=1/sqrt(2),omega[0]=1000,K=1000000,p=I*omega},Pkq)));
pl:=semilogplot(20*log10(modul),omega=1..3000,thickness=3,title=`Maximálně plochá charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3):
t1 := textplot([3.2,-1.5,`-3dB`],align=RIGHT):
t2 := textplot([3.15,-10,`-40dB/dec`],align=LEFT):
l:=line([0.1,-3],[1100,-3],color=black,linestyle=2):
v1:=arrow([3,0], [3,-3], .002, .1, .3, color=black):
v2:=arrow([3,-3], [3,0], .002, .1, .3, color=black):
display(pl,l,t1,v1,v2,t2);

> `Q=5`;
p11:=evalc(subs({Q=5,omega[0]=1000},sol[1]));
p12:=evalc(subs({Q=5,omega[0]=1000},sol[2]));
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt)));
plot(subs({K=1000^2,p1=p11,p2=p12},pt),t=0..0.05,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

Důkaz uvedených skutečností