Komplexně sdružená dvojice nul přenosu

Zde je ukázán vliv komplexně sdručených nul přenosu na jeho vlastnosti.

> P:=(p-p1)*(p-p2)/(p-p3)/(p-p4);

Např. pro , , a dostaneme

> pt:=invlaplace(P, p, t):
Re_pt:=evalc(Re(subs({p1=-100-2000*I,p2=-100+2000*I,p3=-200,p4=-100},pt)));
Im_pt:=evalc(Im(subs({p1=-100-2000*I,p2=-100+2000*I,p3=-200,p4=-100},pt)));
plot(evalc(subs({p1=-100+2000*I,p2=-100-2000*I,p3=-200,p4=-100},pt)),t=0.00001..0.3,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

Jak je vidět z tohoto výpočtu a následného grafu a jak již bylo předesláno, nemá koplexně sdružená dvojice nul vliv na na charakter časové odezvy (impulzní charakteristiky).

> semilogplot(20*log10(evalc(abs(subs({p1=-100-2000*I,p2=-100+2000*I,p3=-200,p4=-100,p=I*omega},P)))),omega=50..10000,title=`Modulová charakteristika [dB]`,labels=[omega,`log|P|`], axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA,8], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);
semilogplot(180/Pi*argument(subs({p1=-100-2000*I,p2=-100+2000*I,p3=-200,p4=-100,p=I*omega},P)),omega=50..10000,title=`Fázová charakteristika [deg]`,labels=[omega,`Arg(P)`], axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA,8], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

> Pss:=evalf(20*log10(limit(subs({p1=-100-2000*I,p2=-100+2000*I,p3=-200,p4=-100},P),p=0)));

> Pn:=evalf(20*log10(limit(abs(subs({p1=-100-2000*I,p2=-100+2000*I,p3=-200,p4=-100,p=I*omega},P)),omega=infinity)));

> Q:=evalf(1/2*sqrt(100^2+2000^2)/100);

> evalf(sqrt(2000^2+100^2));

Průběh modulové charakteristiky vychází podle našeho očekávání. Pro stejnosměrné buzení vykazuje zesílení dB, na úhlovém kmmitočtu 100 a 200 [1/s] jsou dva póly, tudíž zde modul klesá. Vlivem komplexně sdružené dvojici nul přenos potom v okolí kmitočtu 2002 [1/s] ( ) dochází ke dvojnásobnému zlomu s "překmitem" o 20dB ( ) a chrakteristika již dále není závislá na kmitočtu. Pro velmi vysoké kmitočty se blíží k hodnotě dB. Fázová chrakteristika vykazuje opět předpokládaný průběh. Nejdříve vlivem pólů klesá z nuly až k hodnotě . Této hodnoty však nedosáhne, jelikož se začne uplatňovat vliv komplexně sdružených nul se zápornou reálnou částí. Jejich vlivem fáze opět vemi strmě stoupá až k hodnotě . Čtenář si může sám ověřit, že průběh modulové charakteristiky se nezmění pro stejný příklad, ale s umístěním komplexně sdružených nul v pravé polorovině (s kladnou reálnou částí). Víme již také, že v tom případě by fáze vlivem těchto nul nestoupala, ale dále klesala až do hodnoty .