Nula v nule (pro nulový kmitočet)

> P:=K*p/(p-p1);

Např. pro a dostaneme

> pp:=subs({K=1,p1=-1000,p=sigma+I*omega},P);

Toto je příklad přenosu obvodu, který vykazuje nulový přenos pro stejnosměrný signál -- střídavě vázané systémy (např. pomocí oddělovacích kondenzátorů. Takový přenos lze realizovat jednoduchým derivačním RC článkem.

Závislost přenosu na komplexním kmitočtu je vynesena na následujícím obrázku.

> Surface:=plot3d(20*log10(abs(pp)),omega=1..500,sigma=-1000..800,style=patchnogrid,axes=box,orientation=[119,64],numpoints=2000):
curve_o:=[omega,0,20*log10(subs(sigma=0,abs(pp)))]:
B_o:=spacecurve(curve_o,omega=1..500,axes=none,color=black,thickness=3):
display(Surface,B_o,labels=[omega,sigma,`|pp|`],title=`Modul přenosu v závislosti na "kompexním kmitočtu" p`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8]);

Kmitočtové charakteristiky vycházejí podle předpokladu. Modulová chrakteristika stoupá z nulového přenosu pro nulový kmitočet (pozor na log. měřítka) až do oblasti, kdy se začne ulpatňovat vliv pólu přenosu. Fázová charakteristika přenosu začíná díky nule na a potom díky pólu přenosu klesá na .

> semilogplot(20*log10(subs(sigma=0,abs(pp))),omega=100..10000,title=`Modulová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [dB]`,labels=[omega,`log|pp|`],axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA,8], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);
semilogplot(180/Pi*argument(subs(sigma=0,pp)),omega=100..10000,title=`Fázová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [deg]`,labels=[omega,`Arg(pp)`], axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA,8], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

Jak bylo řečeno, nuly přenosu neovlivňují charakter časové odezvy a tudíž i zde se na stabilitě takovéto soustavy se nic nezmění. V tomto jednoduchém případě lze navíc velmi dobře odhadnout jak tvar impulzové, tak přechodové charakteristiky.

> pt:=invlaplace(P, p, t);
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1,p1=-1000},pt)));
Im_pt:=evalc(Im(subs({K=1,p1=-1000},pt)));
plot(subs({K=1,p1=-1000},pt),t=0.00001..0.01,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

> pt:=invlaplace(P*1/p, p, t);
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1,p1=-1000},pt)));
Im_pt:=evalc(Im(subs({K=1,p1=-1000},pt)));
plot(subs({K=1,p1=-1000},pt),t=0..0.01,title=`Přechodová charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);