Nula v pravé polorovině

Např. pro , a dostaneme

> pp:=abs(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100,p=sigma+I*omega},P));

V našem případě by mohl obvod realizující takovýto přenos vypadat například tak, jak je ukázáno na tomto obrázku. Všimněte si, že se jedná o "aktivní obvod" - obsahuje řízený zdroj (v našem případě zdroj proudu řízený napětím). Tento obvod se navíc poměrně často vyskytuje v linearizovaných obvodech různých zesilovačů, tudíž se nejedná o žádný vykonstruovaný příklad.. Pasivní obvod složený pouze s rezistorů, kapacitorů a induktorů má všechny nuly přenosu v levé polorovině (jde o obvod s minimální fází). Odvození této skutečnosti není opět naším cílem a zvídavého čtenáře odkážeme na příslušnou literaturu.

Závislost přenosu na komplexním kmitočtu je vynesena na následujícím obrázku.

> Surface:=plot3d(20*log10(pp),omega=1..1000,sigma=-1000..2000,style=patchnogrid,axes=box,orientation=[140,64],numpoints=2000):
curve_o:=[omega,0,20*log10(subs(sigma=0,pp))]:
B_o:=spacecurve(curve_o,omega=1..1000,axes=none,color=black,thickness=3):
display(Surface,B_o,labels=[omega,sigma,`log|pp|`],title=`Modul přenosu v závislosti na "kompexním kmitočtu" p`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8]);

Tvar modulové charakteristiky se oproti předchozímu případu nezmění. Rozdíl však nastává v charakteristice fázové. Oproti minulému případu zde fáze přenosu začíná na (obvod otáčí pro stejnosměrný signál fázi), potom díky pólu přenosu klesá a dále vlivem nuly přenosu stále klesá až na . To je velmi důležité si uvědomit - nula vpravo má na fázovou charakteristiku stejný vliv jako pól přenosu, ale tvar modulové charakteristiky je stejný jako by tato nula ležela v levé polotovině komplexní roviny . Tento poznatek využijeme hlavně tehdy, až se budeme zabývat stabilitou zpětnovazebních soustav, kde jak uvidíme je tato otázka velmi důležitá.

> semilogplot(20*log10(subs(sigma=0,pp)),omega=10..5000,title=`Modulová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [dB]`,labels=[omega,`log|pp|`],axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA,8], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);
semilogplot(180/Pi*argument(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100,p=I*omega},P)),omega=10..5000,title=`Fázová charakteristika s logaritmickým měřítkem kmitočtu [deg]`,labels=[omega,`Arg(pp)`], axes=FRAME,labelfont=[HELVETICA,8], axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

Na stabilitě takovéto soustavy se nic nezmění, jak ukazují následující výpočty a jak bylo řečeno již v předchozím výkladu.

> pt:=invlaplace(P, p, t);
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100},pt)));
Im_pt:=evalc(Im(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100},pt)));
plot(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100},pt),t=0.00001..0.05,title=`Impulzní charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);

Odezva na Dirakův impulz - impulzní charakteristika se až na znaméko velmi podobá předchzímu příkladu (ve skutečnosti se změnilo zanaménko i velikost násobné konstakty exponenciely). Po odeznění přechodového jevu se systém opět ustálí a výstupní signál zaniká - obvod je stabilní.

Podobně se změní i chrakteristika přechodová.

> pt:=invlaplace(P*1/p, p, t);
Re_pt:=evalc(Re(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100},pt)));
Im_pt:=evalc(Im(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100},pt)));
plot(subs({K=1/11,p1=1000,p2=-100},pt),t=0..0.05,title=`Přechodová charakteristika`,labelfont=[HELVETICA,8],axesfont=[HELVETICA,8],thickness=3);