Nuly přenosových funkcí

© Jiří Hospodka

Tato kapitola bezprostředně navazuje na kapitolu aeo_pol.mws, zabývající vlivem pólů přenosových funkcí lieárního systému na jeho vlastnosti v kmitočtové a časové oblasti.
restart:

Pro výpočty a kreslení někrerých grafů budeme potřebovat tyto knihovny.

> with(inttrans):with(plots):

U přenosových funkcí obsahujících nuly přenosu, je nutné si uvědimit jednu důležitou skutečnost. Přenosová funkce se totiž nemůže skládat pouze z jedné nebo více nul, ale vždy musí mít i odpovídající počet pólů přenosu, resp. je-li přenosová funkce ve tvaru racionálně lomenné funkce musí být být stupeň čitatele nižší než stupeň jmenovatele.

Vysvětlení lze podat dvěma způsoby:

Přenosová funkce [Maple Math] jakéhokoliv reálného obvodu se bude jistě pro velmi vysoké kmitočty blížit nule, tj, provedeme-li substituci [Maple Math] , musí platit [Maple Math] . To bude však platit právě pro výše uvedenou vlastnost přenosu.

Druhé vysvětlení je čistě matematické: Nutná a postačující podmínka pro to, aby racionální lomená funkce [Maple Math] byla obrazem funkce sdandartního typu je, tato: Stupeň čitatele je nižší než stupeň jmenovatele . (Musí také platit První věta o limitě [Maple Math] , kde [Maple Math] je obraz předmětu [Maple Math] standardního typu, resp. kdyby tato limita neplatila, nebude [Maple Math] standardního typu). Důkaz této věty není předmětem našeho zájmu, tudíž se jím nebudem zabývat. Lze ho však nalézt např. v [LT], (viz také odezva.mws).

Pokusíme-li se přesto najít předmět např. funkce 1. Víme, že předmětem je Diracova funkce, tj. není funkce standardního typu (není to také reálný signál).

> invlaplace(1,p,t);

[Maple Math]

> Int(Dirac(t),t = -infinity..infinity):%=value(%);

[Maple Math]

Obvodem, jež v ideálním případě nebude mít žádný pól kmitočtově závislého přenosu, může být např. derivátor . Ten je ukázán na následujícím obrázku. Jeho přenos je roven [Maple Math] a po vyjádření dostaneme [Maple Math] .

[Maple OLE 2.0 Object]

Budeme-li hledat předmet k Laplaceovu obrazu typu [Maple Math] , dojdeme k následujícímu výsledku.

> invlaplace(K*(p-p0),p,t);

[Maple Math]

Zde je ukázáno, co je míněno zápisem [Maple Math] . Je to zřejmě derivace Diracovy funkce, což je opět nereálný signál.

> Diff(Heaviside(t),t):%=value(%);

> Diff(Dirac(t),t):%=value(%);

> Diff(Dirac(1,t),t):%=value(%);

[Maple Math]

[Maple Math]

[Maple Math]

Je nutné si však uvědomit, že v případě realizace takovéhoto zapojení, tj, při použití reálného operačního zesilovače nedostaneme, vlivem kmitočtové závislosti jeho zesílení, pro přenos výše uvedený vztah. V reálných podmínkách bude tedy vždy platit, že supeň čitatele je nižší než stupeň jmenovatale .

Věnujme se však ještě dalšímu idealizovanému případu, kdy je stupeň čitatele i jmenovatele přenosové funkce shodný a tudíž je přenos takovéhoto systému nenulový i pro [Maple Math] , což nelze v praxi realizovat. Uvedený případ demonstrujme na přenosu, který obsahuje jednu nulu i pól v levé polorovině komplexní roviny [Maple Math] .

> P:=K*(p-p1)/(p-p2);

[Maple Math]

Nula v levé polorovině

Nula v pravé polorovině

Nula v nule (pro nulový kmitočet)

Nyní již známe téměř všechy možné případy, které se mohou v přenosech lineárních nebo linearizovaných soustav vyskytnout. Pro úplnost zde chybí ještě případ komlexně sdružené dvojice nul přenosu. Jelikož však ta nemá vliv na stabilitu obvodu, je situace daleko jednodužší než tomu bylo v případě pólů přenosu. Vliv na kmitočtové charakteristiky je u koplexně sdružených nul přesně inverzní (zrcadlově převrácený podle osy [Maple Math] ) oproti koplexně sdruženým pólům, tudíž známý. Rozdíl je pouze v případě nul v pravé polorovině, kde modulová charakteristika zůstává inverzní, ale fázová chrakteristika je shodná jako v případě pólů. O příspěvcích jednotlivých pólů na celkové vlastnosti (v kmitočtové oblasti) jsme hovořili na závěr minulé kapitoly ( aeo_pol.mws). Tyto poznatky samozřejmě platí i zde, pro přenosy obsahující jak póly tak nuly.

Na závěr uvedeme pro úplnost dva příklady. První ukazuje vlastnosti přenosu obsahující jenu nulu (v pravé nebo levé polorovině) a koplexně sdružený pól. Druhý příklad se zabývá vlivem komplexně sdružené dvojice nul na vlastnosti přenosu.

Komplexně sdružený pól a "jednoduchá" nula přenosu

Komplexně sdružená dvojice nul přenosu